Matematyka.pl

Oblicz pole \(\displaystyle{ P(n)}\) trójkąta ABC o wierzchołku w punkcie A=(0,0) oraz punktach Bi C będących wspólnymi punktami krzywych o równaniach :
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=6}\) i \(\displaystyle{ y=\frac{1}{nx}}\) , gdzie n,x należą do \(\displaystyle{ R^{+}}\). Zbadaj \(\displaystyle{ \lim_{x\to } P(n)}\)

wprowadziłem takie oznaczenia\(\displaystyle{ B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)}\)
punkty B i C leżą na półokręgu o środku w pkt. (0,0), tak więc \(\displaystyle{ |AB|=|AC|}\)
punkt \(\displaystyle{ S(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2})}\) oznaczyłem jak widać jako środek odcinka \(\displaystyle{ BC}\). Przyda się on nam bo przecież \(\displaystyle{ |AS|}\) to wysokość trójkąta

\(\displaystyle{ P(n)=\frac{1}{2} |AS|*|BC|}\)

\(\displaystyle{ |BC|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} => |BC|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}}\)

Rozwiążemy układ równań:
\(\displaystyle{ n^2x^4-6n^2x^2+1=0}\)
\(\displaystyle{ n^2t^2-6n^2t+1=0, t=x^2, t\geqslant 0}\)

\(\displaystyle{ t_1+t_2=x_1^2+x_2^2 (*)}\)
\(\displaystyle{ t_1t_2=x_1^2x_2^2 => x_1x_2 =\sqrt{t_1t_2} => x_1x_2= \frac{1}{n}}\)


\(\displaystyle{ Ad.*}\)
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}\)
\(\displaystyle{ t_1+t_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2=\sqrt{(t_1+t_2)+2\sqrt{t_1t_2}}}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2=\sqrt{6+\frac{2}{n}}\)

Gdybyśmy powyznaczali y to wyjdzie że \(\displaystyle{ x_1+x_2=y_1+y_2; \ x_1x_2= y_1y_2}\)

No i mamy prawie wszystko wyliczne, \(\displaystyle{ |AS|}\)już łatwo policzyć, potem "tylko" podstawić.Z granicą też nie powinno być problemu. Jeśli gdzieś popełniłem błąd w obliczeniach to przepraszam, ale już późnawo Myśle że metoda jest w porządku.

Pozdrawiam, i mam nadzieje że pomogłem

Dopiero dzisiaj udało mi się wrócić do tego zadania i przyznaje, że trochę się zamotałam. Skąd wiadomo, że leży na półokręgu ? I skąd mamy ten układ? Przyznaje, że to nie jest mój dzień i nie umiem sobie tego wytłumaczyć.

Postaram się trochę wyjaśnić:

*\(\displaystyle{ x^2+y^2=6}\) to równanie okręgu, ale \(\displaystyle{ x>0}\) więc zostaje tylko jego połówka
*\(\displaystyle{ y=\frac {1}{nx}}\), gdzie \(\displaystyle{ x,n>0}\) więc nasz kawałek hiperboli leży tylko w 1 ćwiartce układu
*układ równań bierze się stąd:\(\displaystyle{ x^2+(\frac {1}{nx})^2=6}\)
*\(\displaystyle{ n^2t^2-6n^2t+1=0}\) trzeba się tu jeszcze zająć deltą, i znaleźć takie "n", żeby równanie miało jedno dodatnie rozwiązanie, drugie niedodatnie lub brak (bo wtedy są dwa przecięcia z półokręgiem i można zbudować trójkąt)