Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych ciągów.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych ciągów.

Post autor: a4karo » 31 sie 2014, o 16:21

\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\nearrow e\), \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\searrow e\).

Pozbierajmy w tym wątku znane (i nieznane) dowody tych faktów. Może urodzi się z tego coś?
Prośba o podanie źródła, jeżeli publikujecie znany dowód.

Zacznę od takiego: jeżeli \(f\) jest funkcją wklęsłą, to iloraz różnicowy \(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\) jest funkcją malejącą.
Kładąc \(f(x)=\ln(1+x)\) wnosimy, że
\(\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-\ln 1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)-1}=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) rośnie, bo ciąg \(1/n\) maleje.
Z drugiej strony
\(\frac{\log \left(1-\frac{1}{n+1}\right) - \log 1}{-\frac{1}{n+1}} = \log \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\) maleje, bo ciąg \(-1/(n+1)\) rośnie.


Interesujący jest również ciąg \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1/2}\), który maleje, jako że jest to graniczny przypadek gdzie psuje sie monotoniczność (dla wykładników \(>n+a^\) ciąg maleje, gdy \(a\geq 1/2\) a rośnie od pewnego miejsca gdy \(0<a<1/2\)). Ładne dowody tych faktów również mile widziane

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych ciągów.

Post autor: Dasio11 » 31 sie 2014, o 19:05

Nie znam źródła:

Niech \(x_1, x_2 > 0\) oraz \(x_1<x_2.\) Wtedy \(0<\frac{x_1}{x_2}<1,\) zatem na mocy nierówności Bernoulliego

\(\left(1+\frac{1}{x_1} \right)^{x_1} = \left(1+\frac{1}{x_1} \right)^{\frac{x_1}{x_2} \cdot x_2} < \left(1+ \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_1} \right)^{x_2} = \left(1+\frac{1}{x_2} \right)^{x_2}.\)

Powyższe wynikanie jest prawdziwe w szczególności dla wszystkich naturalnych \(x_1, x_2,\) zatem ciąg \(\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\) jest rosnący.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych ciągów.

Post autor: a4karo » 31 sie 2014, o 21:01

Fajne, nie znałem. Bardziej znana jest wersja nierowności Bernoulliego dla wykłądnika >1, więc może lepiej odwrócićrozumowanie?

No to pokażę jeszcze dwa:
\(\log \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{e}=\int_0^1\frac{-t}{t+x}dt \nearrow 0\) bo każda funkcja podcałkowa rośnie
\(\log \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}}{e}=\int_0^1\frac{1-t}{t+x}dt \searrow 0.\), bo każda funkcja podcałkowa maleje.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: Janusz Tracz » 27 sie 2017, o 19:39

\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\nearrow\)
dowód:    

Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: Takahashi » 27 sie 2017, o 20:04

Czy to rozumowanie nie jest okrężne? Jak zdefiniować logarytm bez znajomości istnienia granicy

\(\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac xn\right)^n\)

nawet dla \(x = 1\)?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14140
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: Premislav » 27 sie 2017, o 20:13

No cóż, można zdefiniować
\(\exp(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}\) i logarytm naturalny jako funkcję odwrotną do tej funkcji… Wtedy różne wzorki z pochodnymi możemy otrzymać przez różniczkowanie szeregów potęgowych. Ale chyba zwykle tak się nie robi…

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: Janusz Tracz » 27 sie 2017, o 20:19

Niczego nie definiowałem (bo sytuacja tego nie wymagała) tak samo jak a4karo, który też użył \(e\) w swoim poście i było ok.
A nawet jeśli to niech \(e= \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\) i po sprawie. Równość \(\lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n= \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\) pokazałem tu

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14140
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: Premislav » 13 wrz 2017, o 03:15

Nierówność
\(\left( 1+\frac 1 n\right)^{n+\frac 1 2}> \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1+\frac 1 2}\)
możemy przepisać w postaci
\(\left( 1+ \frac{1}{n^2+2n} \right)^{n+\frac 1 2} >1+\frac{1}{n+1}\)
Dla \(n=1\) sprawdzamy "ręcznie", że nierówność jest spełniona, zaś dalej przyda się takie wzmocnienie nierówności Bernoulliego: jeśli
\(x > 0, \ a > 2\) to
\((1+x)^a \ge 1+ax+ \frac{a(a-1)}{2}x^2\)
Dowód tego faktu można przeprowadzić w oparciu o rachunek różniczkowy, z użyciem klasycznej nierówności Bernoulliego (w celu wykazania dodatniości pochodnej).

Korzystając z powyższego wzmocnienia nierówności Bernoulliego, otrzymujemy
\(\left( 1+ \frac{1}{n^2+2n} \right)^{n+\frac 1 2}>1+ \frac{n+\frac 1 2}{n^2+2n}+ \frac{n^2-\frac 1 4}{2n^2(n+2)^2}\)
i zostaje do udowodnienia
\(\frac{n+\frac 1 2}{n^2+2n}+ \frac{n^2-\frac 1 4}{2n^2(n+2)^2} \ge \frac{1}{n+1}\)
a ten syf już można przemielić. Oczywiście, stąd też wynika, że dla dowolnego \(k\ge \frac 1 2\)
ciąg \(a_n=\left( 1+\frac 1 n\right)^{n+k}\) jest malejący.

Ciekawi mnie jednak, jak uzyskać wniosek, że \(\frac 1 2\) jest tym "granicznym" \(k\) - pojęcia nie mam.
Druga sprawa: czy tę nierówność da się udowodnić inaczej, ale nie przywalając przy tym grubszą teorią (czyli np. nierówności między średnimi, Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza i jakieś sprytne lematy jak najbardziej, a np. rachunek całkowy nie)?

-- 13 wrz 2017, o 03:40 --

Patrząc na to od nieco innej strony i uogólniając ociupinkę (ale tylko ociupinkę, pewnie są lepsze uogólnienia), można się pokusić o użycie twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji
\(f(x)=(x+k)\ln\left( 1+\frac 1 x\right)\) i zagadnienie sprowadza się wówczas do znalezienia najmniejszej stałej \(k>0\), dla której zachodzi
\(\ln\left( 1+\frac 1 a\right) < \frac{a+k}{a^2+a}\) dla wszystkich \(a\ge 1\)
Ale to jest już bardzo nieładne, należy (chyba że ktoś to umie obejść) zbadać zachowanie funkcji
\(g(a)=(a^2+a)\ln\left( 1+\frac 1 a\right)-a\) w przedziale \([1,\infty)\)
Mamy \(g'(a)=(2a+1)\ln\left( 1+\frac 1 a\right)-2>0\)
dla \(a\ge 1\), ale wykazanie tego nie należy do przyjemności (znowu różniczkowanie albo szacowania wynikające z rozwinięcia w szereg :|), więc by znaleźć optymalne \(k\), należy
obliczyć \(\lim_{a \to \infty }g(a)=\frac 1 2\)

-- 13 wrz 2017, o 04:23 --

Ajć, nie zauważyłem słowa "ładne", no cóż, nic co piszę nie jest ładne, ale szkoda już mi usuwać.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: a4karo » 13 wrz 2017, o 21:53

To coś, co nie wykorzystuje wiedzy o logarytmach i liczbie \(e\):

Rozpatrzmy funkcję \(f:(0,\infty)\times(\RR\setminus\{0\})\) daną wzorem
\(f(x,t)=\frac{x^t-1}{t}\)
Ta funkcja jest ściśle rosnąca względem pierwszej zmiennej (wystarczy zróżniczkować), oraz względem drugiej (jako iloraz różnicowy wypukłej funkcji wykładniczej - tutaj monotoniczność jest ścisła dla \(x\neq 1\))

(inny argument to równość \(f(x,t)=\int_1^x s^{t-1}ds.\))

Dla każdego \(t\) mamy \(f(1,t)=0\), a dla \(t>-1\) zachodzi \(\lim_{x\to \infty} f(x,t)>1\).

Stąd wniosek, że dla każdego \(-1<t\neq 0\) istnieje dokładnie jedno \(x(t)>1\) takie, że \(f(x(t),t)=1\).




Gdyby dla \(t<s\) było \(x(t)\leq x(s)\), to mielibyśmy ciąg nierówności
\(1=f(x(t),t)\leq f(x(s),t)<f(x(s),s)=1\)

Ta sprzeczność dowodzi, że \(x(t)\) jest funkcja malejącą. Ale \(x(t)=(1+t)^{1/t}\).

Zatem funkcja \(x(1/t)=\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\) rośnie, a funkcja
\(x\left(-\frac{1}{t+1}\right)=\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t+1}\) maleje

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: timon92 » 26 wrz 2017, o 16:12

udowodnimy, że jeśli \(a<\frac 12\), to ciąg \(\left(1+\frac 1n\right)^{n+a}\) od pewnego miejsca rośnie

innymi słowy: wykażemy, że dla dostatecznie dużych \(n\) zachodzi nierówność

\(\left(1+\frac 1n\right)^{n+a} < \left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+1+a}\)

po podzieleniu stronami przez \(\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+a}\) dostajemy równoważną postać

\(\left(1+\frac{1}{n(n+2)} \right)^{n+a} < \frac{n+2}{n+1}\)

wykażemy lemat: \(\left(1+\frac xn\right)^n < 1+x+\frac{x^2}2\) dla \(0<x<\frac 1n\)

\(\left(1+\frac xn \right)^n = 1+x+\frac{n(n-1)}{2}\frac{x^2}{n^2}+\sum_{i=3}^n \frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-i+1)}{i!}\frac{x^i}{n^i} \\ \phantom{\left(1+\frac xn \right)^n } = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2n} + \sum_{i=3}^n \frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-i+1)}{i!}\frac{x^i}{n^i} \\ \phantom{\left(1+\frac xn \right)^n }< 1+x+\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2n} + \sum_{i=3}^n \frac{n\cdot n \cdot \ldots \cdot n}{2^{i-1}}\frac{x^2}{n^{i+1}} \\ \phantom{\left(1+\frac xn \right)^n }= 1+x+\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2n} + \sum_{i=3}^n \frac{x^2}{2^{i-1}n} \\ \phantom{\left(1+\frac xn \right)^n } < 1+x+\frac{x^2}{2}\)

stosujemy lemat dla \(x=\frac{1}{n+2}\):

\(\left(1+\frac{1}{n(n+2)} \right)^{n} < 1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2(n+2)^2}\)

z nierówności Bernoulliego mamy też

\(\left(1+\frac{1}{n(n+2)} \right)^{a} \le 1+\frac{a}{n(n+2)}\)

wobec tego

\(\left(1+\frac{1}{n(n+2)} \right)^{n+a} < \left(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2(n+2)^2}\right)\left(1+\frac{a}{n(n+2)}\right)\)

wystarczy więc dowieść, że dla dostatecznie dużych n mamy

\(\left(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2(n+2)^2}\right)\left(1+\frac{a}{n(n+2)}\right) < \frac{n+2}{n+1}\)

mnożymy stronami przez \(n(n+1)(n+2)^3\), wymnażamy nawiasy i po uporządkowaniu współczynników dostajemy nierówność wielomianową \(P(n)\ge 0\)

współczynnik wiodący wielomianu \(P\) wynosi \(\frac 12 - a > 0\), tak więc żądana nierówność jest spełniona dla dostatecznie dużych \(n\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14140
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: Premislav » 25 lis 2017, o 15:13

Dowód faktu, iż ciąg \(e_n=\left( 1+\frac 1 n\right)^n, \ n=1,2\ldots\) jest rosnący, który pokażę, znalazłem kiedyś na Wikipedii, a literatura do artykułu https://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawa_ ... aturalnego sugeruje, że można tenże dowód znaleźć w książce Bogdana Misia Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki (choć pewnie nie jest to oryginalne źródło dowodu).

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy
\(\frac{1+\overbrace{\left(1+\frac 1 n\right)+\ldots+\left(1+\frac 1 n\right)}^{n}}{n+1} \ge \left( 1+\frac 1 n\right)^{\frac{n}{n+1}}\)
(równość nie zajdzie, bo \(1\neq 1+\frac 1 n\), a w nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną równość zachodzi tylko dla równych zmiennych).
czyli, inaczej zapisując lewą stronę,
\(1+\frac{1}{n+1} \ge \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n+1}}\)
Obie strony są dodatnie, wiec równoważnie podnosimy nierówność stronami do potęgi \(n+1\), co daje
\(\left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\left( 1+\frac 1 n\right)^n\),
a to jest właśnie teza.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: timon92 » 25 lis 2017, o 18:30

@up podmieniając w niektórych miejscach jedynkę na \(x>-n\) możemy udowodnić w ten sam sposób, że \(\left( 1+\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}>\left( 1+\frac x n\right)^n\)

wraz z jakimś szacowaniem \(M> \left( 1+\frac x n\right)^n\) niezależnym od \(n\) prowadzi to do wniosku, że ciąg \(\left( 1+\frac x n\right)^n\) jest zbieżny (do liczby, którą zwykło się nazywać \(\exp(x)\))

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14140
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: Premislav » 25 lis 2017, o 18:37

Dobre!

piobury
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 15 lip 2014, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Pozbierajmy znane dowody monotoniczności klasycznych cią

Post autor: piobury » 12 wrz 2018, o 13:55

Premislav pisze:Dowód faktu, iż ciąg \(e_n=\left( 1+\frac 1 n\right)^n, \ n=1,2\ldots\) jest rosnący, który pokażę, znalazłem kiedyś na Wikipedii, a literatura do artykułu https://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawa_ ... aturalnego sugeruje, że można tenże dowód znaleźć w książce Bogdana Misia Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki (choć pewnie nie jest to oryginalne źródło dowodu).
Akurat w tej książce Bogdan Miś przedstawia inny dowód monotoniczności tego ciąu.

\(a_n=\left(1+ \frac{1}{n}\right)^n=1+n \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{n^2}+ \ldots + \frac{n(n-1)\ldots (n-n+1)}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n} \cdot \frac{1}{n^n}=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\ldots +\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{n-1}{n}\right)\)

Rozważając wyraz następny tj. \(a_{n+1}\) otrzymamy w powyższej sumie jeden składnik więcej, a do tego każdy składnik sumy zwiększy się (zamiast wyrażeń \(1- \frac{r}{n}\) pojawią się wyrażenia większe: \(1- \frac{r}{n+1}\))
Zatem ciąg \((a_n)\) jest rosnący.

ODPOWIEDZ