Matematyka.pl

Cześć mam taki sobie szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{(n+1) (x+2)^{n} }{2^{n}}}\)
Mam wyznaczyć obszar zbieżności i sumę szeregu. Podstawiam sobie za \(\displaystyle{ x+2 = t}\) i wychodzi mi, że obszar zbieżności jest dla \(\displaystyle{ t \in (-2;2)}\) czyli dla \(\displaystyle{ x \in (-4;0)}\) Ok, następnie licząc sumę, dochodzę do momentu gdy mam ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ a_{1} = \frac{t^{2}}{2} q = \frac{t}{2}}\) z tym, że \(\displaystyle{ \left|q\right| < 1}\) czyli \(\displaystyle{ t \in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})}\). Jak się ma to do obszaru zbieżności który wyszedł inny? :c Proszę o jakieś wyjaśnienie. Bo na końcu wyjdzie mi w końcu ta funkcja i muszę napisać dla jakiego x ta suma obowiązuje.

Niestety zaplątałeś się.
Ustaliłeś, że dla \(\displaystyle{ x\in(-4,0)}\) (czyli dla \(\displaystyle{ t\in(-2,2)}\)) szereg jest zbieżny.
Rozważmy szereg po tym podstawieniu, będzie wygodniej.
Jak chcesz policzyć samą sumę? Przecież tu nie masz żadnego ciągu geometrycznego.
Ustalmy jakikolwiek \(\displaystyle{ t\in(-2,2)}\). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ a_n=\frac{(n+1)t^n}{2^n},\ a_{n+1}=\frac{(n+2)t^{n+1}}{2^{n+1}}}\)
No i teraz liczymy
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+2)t^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{(n+1)t^n}{2^n}}=
\frac{t}{2}\cdot\frac{n+2}{n+1}}\)
a to nigdy nie będzie stałą.
Jak policzyć taką sumę?
Podpowiedź:
\(\displaystyle{ \left(t^{n+1}\right)'=(n+1)t^n}\)
a pochodna sumy jest sumą pochodnych jaki całka sumy jest sumą całek.

Wersja tl;dr :

Jeśli \(\displaystyle{ q = \frac{t}{2},}\) to za warunku \(\displaystyle{ |q| < 1}\) mamy \(\displaystyle{ |t| < 2}\) a nie \(\displaystyle{ |t| < \frac{1}{2}.}\)

Bez obrazy. Dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{t}{2}\cdot\frac{n+2}{n+1}}\) i nie jest stałe.
Stąd o ciągu geometrycznym można zapomnieć.

Widać, że było :tl;dr

tl;dr nie odnosiło się do tego, że nie przeczytałem pierwszego postu w temacie.

Autor nie napisał, że jego szereg jest geometryczny, tylko że dochodzi do momentu, gdzie ma ciąg geometryczny. Poprawiłem jedyny błąd, jaki zauważyłem, że został popełniony.

OK, ale to się zaczyna zgadywanie co autor ma na myśli. Jeżeli wyjściowy szereg traktuje jako szereg geometryczny, to robi błąd.
Jeżeli ten szereg geometryczny powstał przez scałkowanie, to początek ma dobry.

Ale ja nic nie zgaduję.

Dasio11 pisze:Wersja tl;dr :

Jeśli \(\displaystyle{ q = \frac{t}{2},}\) to za warunku \(\displaystyle{ |q| < 1}\) mamy \(\displaystyle{ |t| < 2}\) a nie \(\displaystyle{ |t| < \frac{1}{2}.}\)

Dzięki chłopaki, zamuliło mnie.
@chris_f ciąg geometryczny mam dopiero po zcałkowaniu, kiedy zniknie mi n+1.