Matematyka.pl

Znaleźć punkt symetryczny do punktu P=(1,2,3) względem prostej opisanej równaniem krawędziowym.

k: \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-y+z=0\\2x-5y+3z-1=0\end{cases}}\)


Chciałem się zapytać czy otrzymałem dobre współrzędne tego punktu symetrycznego, bo wydają się jakieś dziwne, a nie mam odpowiedzi do tego zadania. Wyszło mi, że jest on następujący: P'=\(\displaystyle{ \left( -\frac{11}{111} , \frac{760}{111} , \frac{1237}{111} \right)}\)

Napisz jak to liczyłeś, bo nikomu nie chce się rozwiązywać całego zadania, tylko po to by rozstrzygnąć poprawność odpowiedzi.

W pierwszej kolejności obliczyłem wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ \left[ 2, -7, -13\right]}\) , a następnie punkt leżący na niej przyrównując x=0, wyszło, że \(\displaystyle{ \begin{cases}x=0\\y=- \frac{1}{2} \\z=- \frac{1}{2} \end{cases}}\).

W wyniku tego wyznaczyłem parametryczne równanie prostej: \(\displaystyle{ \frac{x}{2}= \frac{y+ \frac{1}{2} }{-7}= \frac{z+ \frac{1}{2} }{-13}}\)

Kolejnym krokiem było wyznaczenie wektora między punktem P, a punktem na prostej: \(\displaystyle{ \left[ 2t-1, -7t- \frac{5}{2}, -13t- \frac{7}{2} \right]}\)

Później pomnożyłem skalarnie wektor kierunkowy prostej i wyznaczony wektor między punktami przyrównując do 0. Otrzymałem w ten sposób współczynnik
t = - \(\displaystyle{ \frac{61}{222}}\)

Ostatnim krokiem było podstawienie pod t wyliczonego ułamka i wyznaczenie punktu P' przez:
P' = P + 2PO gdzie PO to wcześniej wspomniany wektor między punktami.

Metoda jest dobra.
Coś nie zgadza mi się wyliczony parametr \(\displaystyle{ t=-\frac{61}{222}}\).
Mi tak z szybkich rachunków wyszło \(\displaystyle{ t=-\frac{55}{111}=-\frac{110}{222}}\), ale nie jestem pewny. Do tego miejsca masz na pewno OK, na wszelki wypadek sprawdź jeszcze te rachunki.