Matematyka.pl

Na polokregu ktorego srednica jest odcinek AB obrano punkt S (S=/=A i S=/=B) ktorego rzutem prostokatnym na prosta AB jest punkt D. Nastepnie narysowano okrag styczny do prostych SD i AB i majacych jeden punkt wspolny z lukiem AS (styczny zewnetrznie do tego luku ??). Wykaz, ze trojkat ktorego wierzcholkami sa punkty S, B i punkt stycznosci narysowanego okregu z prosta AB jest rownoramienny. Na rysunku ladnie widac ale prawde powiedziawszy nie mam zadnego pomyslu na dowod ;/

Czy aby na pewno taka jest treść zadania? Coś mi nie daje się to narysować! Możesz podesłać szkic? (skontaktuj się ewentualnie przez PW)

Mi się wydaje, że dobra treść ...



Wiem, że to za pięknie nie wygląda ale ...

w porownaniu z moim jest przesliczny zreszta ja w ogole to kolo rzucilem z drugiej strony tak jakbys zamienil A i B miejscami i probowal to narysowac a o dziwo tez wychodzi rownoramienny

Ok. Zrozumiałem że to konstruowany okrąg ma być zewnętznie styczny Jutro spróbóję

Mi sie wydaje, ze to nie jest prawda

malo prawdopodobne zadanie pochodzi z wiarygodnego zrodla ;-] zreszta na rysunku to wyglada na rownoramienny mysle ze trzeba cos pokombinowac z dlugosciami luku i ze rzut prostokatny na prosta zachowuje stosunki odleglosci... ale nie mam pomysla ;/

Przy takim wpisywaniu okręgu, niestety:
https://matematyka.pl/album_pic.php?pic_id=35

[ Dodano: Czw 27 Sty, 2005 23:54 ]
chociaż zaraz, może BC=SB?

[ Dodano: Czw 27 Sty, 2005 23:59 ]
Ale na pewno brakuje założenia, z której strony prostej SD ma być okrąg:
https://matematyka.pl/album_pic.php?pic_id=36

[ Dodano: Pią 28 Sty, 2005 00:04 ]
Ale wtedy rownoramienny chyba jest ASC:
http://matematyka.pl/album_pic.php?pic_id=38

Nie brakuje ...

Okrąg styczny do łuku AS ... To mówi samo za siebie po której stronie .

Ide spac w takim razie, juz nie doczytuje podstawowych informacji Przepraszam za zamieszanie.

tak patrze na to zadanie jeszcze nic specjalnie madrego nie wymyslilem poza tym ze odcinek SC jest srednia geometryczna AC i BC moze to komus cos podpowie

proponuję policzyć analitycznie niewięcej niż 1 strona z tego wyjdzie.

jakbym umial to bym policzyl (oznaczyc punkty ? i liczyc wektorowo itp. ?)

W trójkącie prostokątnym OCP
\(\displaystyle{ |OC|=\sqrt{(R-r)^2-r^2}}\)
\(\displaystyle{ x=R-r-|OC| = R-r-\sqrt{(R-r)^2-r^2}}\)
Trójkąt BSA jest prostokątny więc zachodzi równość
\(\displaystyle{ h^2=x\cdot (2R-x)}\)
Teraz wystarczy okazać że \(\displaystyle{ |BS| = |BC|}\)
\(\displaystyle{ |BS|^2=h^2+x^2}\)
\(\displaystyle{ |BC| = x+r}\)

Zaprzągłem Derive i sobie nie poradził
\(\displaystyle{ \frac{|BS|^2}{|BC|^2} =\frac{-2\cdot R\cdot (\sqrt{R^2-2\cdot r\cdot R}+r-R)}{R-\sqrt{R^2-2\cdot r\cdot R}}^2=\frac{-2\cdot R\cdot (\sqrt{-R\cdot (2\cdot r-R)}+R)^2\cdot (\sqrt{-R\cdot (2\cdot r-R)}+r-R)}{4\cdot r^2\cdot R^2}}\)
Po wstawieniu warośći wychodzi 1.
Może ktoś to potrafi wykazać.

Głupio trochę wyszło, bo poprzekształcałem to, ale mi r wyszło równe 0. W międzyczasie dzieliłem stronami tylko przez x, które raczej nie jest 0, więc chyba dopiero jutro tu odpowiem.


Jednak dzisiaj , ale po kolei. Zmieniłem trochę sposób, dla mnie prościej. Wypisujemy dane:

\(\displaystyle{ |OC| = \sqrt{R(R-2r)} \\ x = R-r-\sqrt{R(R-2r)} \\h^{2} = x(R+r+\sqrt{R(R-2r)}) \\ |BS|^{2} = h^{2}+x^{2} \\ |BC|^{2} = x+r /^{2} \\ |BC|^{2} = x^{2} +2xr +r^{2}}\)
I teraz zakładamy, że są równe i będziemy tego dowodzić:

\(\displaystyle{ |BS|^{2} = |BC|^{2} \\ h^{2}+x^{2} = x^{2} + 2xr +r^{2} \\ h^{2} = 2xr+r^{2} \\ x(R+r+\sqrt{R(R-2r)}) = 2xr+r^{2} \\ x(R+r+\sqrt{R(R-2r)})-2rx = r^{2} \\ x(R+r+\sqrt{R(R-2r)}-2r) = r^{2} \\ (R-r-\sqrt{R(R-2r)})(R-r+\sqrt{R(R-2r)}) = r^{2} \\ (R-r)^{2} - R(R-2r) = r^{2} \\ R^{2} - 2rR + r^{2} - R^{2} + 2rR = r^{2} \\ 0=0}\)
Z czego wynika, że założenie było prawdziwe, a jeżeli kwadraty są równe, to same odcinki są równe - |BC| = |BS|
Morał z tego taki, że jak mawiała moja nauczycielka z gimnazjum (pozdrowienia dla pani Dudek ) - życie trzeba sobie upraszczać!
Zgadzam się z nią w całej rozciągłości. Skoro takiego zawiłego zapisu nawet Derive nie przegryzł, a to co u góry, to takie proste jest (jak się już zrobiło ), to coś w tym jest.
Pozdrawiam wszystkich zainteresowanych tym topiciem - to chyba już jego koniec .