Matematyka.pl

Witajcie!

Mam problem ze zrozumieniem twierdzenia Poissona - będę bardzo wdzięczny za pomoc!

Przytoczę najpierw treść twierdzenia.

Agnieszka Plucińska, Edmund Pluciński "elementy probabilistyki", Warszawa 1979, strona 52
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X_n}\) ma rozkład dwumianowy określony wzorem
\(\displaystyle{ P\left( X_n = k \right) = {n \choose k} p^k q^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n}\)
Jeśli prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p = p(n)}\) maleje do zera w ten sposób, że poczynając od pewnego \(\displaystyle{ n_{0}}\) spełniony jest związek \(\displaystyle{ np = \lambda}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda > 0}\) jest wielkością stałą, to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} P \left(X_n = k \right) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}}\)

Problemem jest dla mnie założenie:
\(\displaystyle{ p = p(n)}\) maleje do zera

Jeżeli dobrze zrozumiałem istotę zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym to wartość \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą stałą, niezależną od \(\displaystyle{ n}\).

Przykładowo: rzucamy \(\displaystyle{ n}\) razy monetą - jakie jest prawdopodobieństwo że orzeł wypadnie 5, 10, 15 razy?
Przy tak postawionym zadaniu przyjąłbym rozkład dwumianowy, dla którego \(\displaystyle{ p = q = \frac{1}{2}}\), niezależnie czy rzucamy 10 razy, 20 razy czy 30 razy.

Czyżbym źle zrozumiał ideę rozkładu dwumianowego?

Bardzo proszę o pomoc! Wszelkie wskazówki mile widziane!

Pozdrawiam

Dla różnych \(\displaystyle{ n}\) masz różne zmienne losowe. W założeniu mamy więc, że prawdopodobieństwa sukcesu w pojedynczym doświadczeniu maleją do zera. Pierwsza zmienna to jedna próba. Mamy tu jakieś prawdopodobieństwo sukcesu \(\displaystyle{ p_1}\). Druga zmienna opisuje nam dwie próby. Mamy tu prawdopodobieństwo sukcesu \(\displaystyle{ p_2}\). Itd. Wyczuwasz sprawę?

Np. mamy nieskończony ciąg strzelców. Strzelec \(\displaystyle{ s_n}\) oddaje \(\displaystyle{ n}\) strzałów do tarczy. A w tarczę trafia w jednym strzale z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_n=1-\frac{1}{(n+1)!}}\).

Obawiam się że cały czas nie łapię.

Może wezmę przykład ze strzelcem i przykładowymi danymi i spróbuję go szerzej rozpisać i w ten sposób uda Ci się mnie jakoś uratować =)

Dane:
Strzelec strzela do tarczy.
Prawdopodobieństwo tego że strzelec w pojedynczym strzale trafi w tarczę wynosi \(\displaystyle{ 0,1}\).
Strzelec strzela do tarczy \(\displaystyle{ n}\) razy. Strzały są od siebie niezależne

No i teraz:

Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) (czyli strzelec oddaje jeden strzał)
\(\displaystyle{ \omega_{0}}\) - zdarzenie polegające na trafieniu 0 razy w tarczę
\(\displaystyle{ \omega_{1}}\) - zdarzenie polegające na trafieniu 1 raz w tarczę

\(\displaystyle{ X_{1}}\) - zmienna losowa.
\(\displaystyle{ X_{1}(\omega_{0}) = 0}\)
\(\displaystyle{ X_{1}(\omega_{1}) = 1}\)

\(\displaystyle{ p}\) - prawdopodobieństwo trafienia w tarczę w pojedynczym strzale
\(\displaystyle{ p = 0,1}\)

\(\displaystyle{ P(X_{1} = 0) = {1 \choose 0} \cdot 0,1^0 \cdot (1 - 0,1)^1 = 0,9}\)
\(\displaystyle{ P(X_{1} = 1) = {1 \choose 1} \cdot 0,1^1 \cdot (1 - 0,1)^0 = 0,1}\)


Dla \(\displaystyle{ n = 2}\) (czyli strzelec oddaje dwa strzały)
\(\displaystyle{ \omega_{0}}\) - zdarzenie polegające na trafieniu 0 razy w tarczę
\(\displaystyle{ \omega_{1}}\) - zdarzenie polegające na trafieniu 1 raz w tarczę
\(\displaystyle{ \omega_{2}}\) - zdarzenie polegające na trafieniu 2 raz w tarczę

\(\displaystyle{ X_{2}}\) - zmienna losowa.
\(\displaystyle{ X_{2}(\omega_{0}) = 0}\)
\(\displaystyle{ X_{2}(\omega_{1}) = 1}\)
\(\displaystyle{ X_{2}(\omega_{2}) = 2}\)

\(\displaystyle{ p}\) - prawdopodobieństwo trafienia w tarczę w pojedynczym strzale (cały czas takie samo), ten sam strzelec, te same umiejętności.
\(\displaystyle{ p = 0,1}\)

\(\displaystyle{ P(X_{2} = 0) = {2 \choose 0} \cdot 0,1^0 \cdot (1 - 0,1)^2 = 0,81}\)
\(\displaystyle{ P(X_{2} = 1) = {2 \choose 1} \cdot 0,1^1 \cdot (1 - 0,1)^1 = 0,18}\)
\(\displaystyle{ P(X_{2} = 2) = {2 \choose 2} \cdot 0,1^2 \cdot (1 - 0,1)^0 = 0,01}\)

i tak dalej, i tak dalej


No i jak najbardziej jestem w stanie "się zgodzić" że dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ P(X_n = k)}\) zbiega do pewnej wartości. Ale przecież prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p}\) trafienia w pojedynczym strzale się nie zmienia...

Coś czuję że po prostu gdzieś "rozchodzimy" się jeżeli chodzi o nazewnictwo i oznaczenie zmiennych i dla mnie \(\displaystyle{ p}\) oznacza co innego niż dla Ciebie.

Czy przypadkiem Ty i Plucińscy przez \(\displaystyle{ p}\) nie rozumiecie \(\displaystyle{ P(X_n = 1)}\)?

Zakładając stale, że strzelec trafia z prawdopodobieństwem 0.1, nie spełniasz założenia, że \(\displaystyle{ p(n)\to 0}\), które chciałeś przedyskutować. Masz tu tak naprawdę ciąg zmiennych losowych, każda o rozkładzie Bernoulli'ego, ale także każda o innym parametrze \(\displaystyle{ p(n)}\).

Generalnie chodzi o przybliżanie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona.