Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ n>1}\) jeśli \(\displaystyle{ n \equiv 0 \ (mod \ j)}\) oraz \(\displaystyle{ j>1}\) to \(\displaystyle{ j = a^r +1}\),
gdzie \(\displaystyle{ a, r \in N}\) oraz \(\displaystyle{ r>1}\)
szczególniej: Które liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) są takie ?

jeśli \(\displaystyle{ n=0(mod j)}\) to inaczej mówiąc n jest wielokrotnością j. Jeśli n ma być liczba pierwsza to możne być tylko jednokrotnością j \(\displaystyle{ p=1 \cdot \left( a^{r}+1 \right)}\)
Jeśli a jest nieparzyste to \(\displaystyle{ p=1 \cdot \left( a^{r}+1 \right)}\) jest parzyste i (poz 2) nie jest liczba pierwszą. Jeśli r jest nieparzyste to wyrażenie da się przedstawić jako iloczyn np:\(\displaystyle{ a ^{3}+1=(a+1)(a ^{2}-a+1 )}\)
aby \(\displaystyle{ p=1 \cdot \left( a^{r}+1 \right)}\) była (nieparzystą) liczbą pierwszą potrzeba aby a ir były parzyste. Jest wiele takich licz pierwszych:
\(\displaystyle{ 2 ^{2}+1=5}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{4}+1=17}\)
\(\displaystyle{ 6 ^{2}+1=37}\)