Matematyka.pl

Witam,

mam problem z udowodnieniem następującego twierdzenia:

Niech \(\displaystyle{ \left( f_n\right) ,\left( g_n\right)}\) będą dowolnymi ciągami funkcji prawie wszędzie skończonych, mierzalnych, określonych na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) miary skończonej. Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ f_n \rightarrow f}\) według miary i \(\displaystyle{ g_n \rightarrow g}\) według miary, to także \(\displaystyle{ f_n g_n \rightarrow fg}\) według miary.

Wskazówka do zadania to użyć następującego twierdzenia:

Ciąg \(\displaystyle{ \left( f_n \right)}\) funkcji mierzalnych, prawie wszędzie skończonych, określonych prawie wszędzie na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) miary skończonej jest zbieżny według miary do funkcji \(\displaystyle{ f}\) prawie wszędzie skończonej wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego podciągu \(\displaystyle{ \left( f_{m_p}\right)}\) ciągu \(\displaystyle{ \left( f_n \right)}\) można wyjąć podciąg \(\displaystyle{ \left( f_{m_{p_n}}\right)}\) zbieżny prawie wszędzie do \(\displaystyle{ f}\).

Pozdrawiam.

1.Wskazówkę też dowieść?
Zadanie.
Weźmy ciąg\(\displaystyle{ h_{n}=f_{n}g_{n}}\).Ustalmy dowolny jego podciąg \(\displaystyle{ h_{m_{p}}}\)
Jako,że \(\displaystyle{ f_{n},g_{n}}\)są zbieżne do odpowiednich granic. Czyli z podciągów \(\displaystyle{ f_{m_{p}},g_{m_{q}}}\) możemy wybrać podciągi zbieżne \(\displaystyle{ f_{m_{p_{n}}},g_{m_{q_{n}}}}\). Bierzemy podciąg \(\displaystyle{ f_{m_{p_{n}}}*g_{m_{q_{n}}}}\)i zbiegamy z \(\displaystyle{ n do nieskończoności}\)
Pokazaliśmy więc,że nasz ciąg spełnia wskazówkę, więc mamy zbieżność

Wskazówkę mam udowodnioną, dziękuję bardzo. Zblokowałem się na zbieżności \(\displaystyle{ f_{m_{p_n}} \cdot g_{m_{q_n}}}\), ale teraz widzę że to jest oczywiste Jeszcze raz dziękuję za pomoc

Przecież na ogół

\(\displaystyle{ f_{m_{p_n}} \cdot g_{m_{q_n}}}\) nie jest podciągiem ciągu \(\displaystyle{ f_n \cdot g_n.}\)

To rozwiązanie jest złe.

Już poprawiam. mamy podciągi zbieżne\(\displaystyle{ f_{m_{p_{n}}}\)oraz[tgx]g_{m_{q_{n}}[/latex]Wybrane jak we wskazówce.Rozważmy podciąg \(\displaystyle{ h_{m_{p_{n}}=f_{m_{p_{n}} \cdot g_{m_{p_{n}}}\)a z podciągu\(\displaystyle{ g_{m_{p_{n}}}\)możemy wybrać zbieżny podciąg ciągu\(\displaystyle{ g_{m_{p_{n_{r}}}}\).
Zauważmy,że podciąg \(\displaystyle{ h_{m_{p_{n_{r}}}}\)spełnia wskazówkę

Fakt, też to przeoczyłem.