Matematyka.pl

witam.
od czego powinienem wyjsc przy tej calce? nie bardzo wiem, co podstawic albo co robic przez czesci.:/

\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2} dx }{(1+ x^{2} ) ^{2} }}\)

Przez części:
\(\displaystyle{ u = x, v' = \frac{x}{(1+x^2)^2}}\)

\(\displaystyle{ \ldots = - \frac{x}{2(1+x^2)} + \int \frac{\; \dd x}{2(1+x^2)} = C - \frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \arctan x}\)

możesz też dodać i odjąć jedynkę w liczniku i skorzystać ze wzoru rekurencyjnego

Jelon, to nic nie da
Jak wyprowadzasz wzór rekurencyjny ?
Alternatywą może być wydzielenie części wymiernej
79919.htm

adi1337 pisze:witam.
od czego powinienem wyjsc przy tej calce? nie bardzo wiem, co podstawic

Podstawić możesz \(\displaystyle{ x=\tan{t}}\)
ale przy większych wykładnikach nie jest to opłacalne

a na wykładzie miałem wyprowadzany na te całeczki typu \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{n}}}\) i w mądrych książeczkach takich jak Fichtenholz też jest wyprowadzony jak się nie mylę.

z tego co pamiętam wyprowadza się to przez części chyba właśnie

poza tym pewny jesteś, że to nic nie da? no bo stosując mój sposób to otrzymamy \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^{2}} - \int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}}\) pierwsza jest elementarna, a w przypadku drugiej wystarczy znać ten wzór (co łatwe nie jest, bo jest on dość skomplikowany, ale metoda raczej powinna nas doprowadzić do rozwiązania)

Uważam że nie trzeba obciążać pamięci wystarczy wiedzieć jak ten wzór wyprowadzić
Aby dostać wzór rekurencyjny liczysz początkową całkę przez części
Całkowanie jedynki i różniczkowanie pozostałego czynnika w całce
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}}\) nie jest wygodne w użyciu
bo podnosi potęgę mianownika