Zbadaj istnienie granicy

[Poszukujaca]

Jak zbadać istnienie takiej granicy?

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}\)

[kerajs]

Co wyjdzie gdy podstawisz:
1. \(\displaystyle{ ( \frac{a}{n}, \frac{b}{n} )}\)
2. \(\displaystyle{ ( \frac{a}{n^2}, \frac{b}{n} )}\)
3. \(\displaystyle{ ( \frac{a}{n}, \frac{b}{n^2} )}\)
4. \(\displaystyle{ ( \frac{a}{n^2}, \frac{b}{n^3} )}\) ?

[janusz47]

Na przykład zapis funkcji \(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}\) we współrzędnych biegunowych.

[Lider_M]

kerajs, za każdym razem to samo, \(\displaystyle{ 0}\).

Można też łatwo z tw. o trzech funkcjach ograniczając np. moduł tego wyrażenia i pozbywając się \(\displaystyle{ y^2}\) przy górnym ograniczeniu.

[Poszukujaca]

kerajs, dla każdego z tych ciągów granica funkcji jest równa 0, ale takie sprawdzanie kilku wyrazow nie może chyba wystarczyć, by dowieść, że rzeczywiście we wszystkich przypadkach tak będzie, prawda? Wydaje mi się, że metoda podstawiania ciągów sprawdza się tylko wtedy, gdy chcemy udowodnić, że granica nie istnieje.

janusz47, nie wpadłam na to, by posłużyć się współrzędnymi biegunowymi. Może to rzeczywiście będzie szybszy i łatwiejszy sposób, zaraz spróbuję.

Lider_M, przy twierdzeniu trzech funkcji zawsze mam problem jakimi funkcjami moge ograniczyć z dołu i z góry..-- 6 sie 2014, o 21:46 --współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos x \\ y=r \cdot \sin x}\)

\(\displaystyle{ \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^{3} \cos^{3}x}{r^{2}\sin^{2}x+r^{2}\cos^{2}x} = \lim_{r \rightarrow 0} r \cos^{3}x}\)

Czy mogę napisać, że \(\displaystyle{ r \rightarrow 0}\)? Jak ro pokazać?

Co zrobić z granicą po tych przeksztaceniach?

[Lider_M]

Lider_M, przy twierdzeniu trzech funkcji zawsze mam problem jakimi funkcjami moge ograniczyć z dołu i z góry..

Niestety trzeba nabrać trochę doświadczenia w tej metodzie, ale potem staje się ona bardzo intuicyjna.

współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos x \\ y=r \cdot \sin x}\)

\(\displaystyle{ \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^{3} \cos^{3}x}{r^{2}\sin^{2}x+r^{2}\cos^{2}x} = \lim_{r \rightarrow 0} r \cos^{3}x}\)

Czy mogę napisać, że \(\displaystyle{ r \rightarrow 0}\)? Jak ro pokazać?

Co zrobić z granicą po tych przeksztaceniach?

\(\displaystyle{ (x,y)\to(0,0)}\) we współrzędnych biegunowych to \(\displaystyle{ r\to 0}\) a kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) dowolny, czyli granica istnieje, gdy granica wychodzi niezależna od kąta, a tutaj tak będzie, bo mamy \(\displaystyle{ 0}\) razy coś ograniczonego.

Dowód tego, że tak można był ostatnio nawet na forum z tego co kojarzę, a jak nie, to spróbuj poszukać.

P.S. lepiej nie pisać, że \(\displaystyle{ x=r\cos x}\) (tzn. kąt inaczej nazwać niż zmienną \(\displaystyle{ x}\)).

[kerajs]

Co do Twojego komentarza. Ponieważ stałe ,,a' i ,,b' są dowolne to wcale nie sprawdzałaś zaledwie kilku ciągów. A i wybór podanych ciągów wcale nie był przypadkowy.
Pierwsza rodzina sprawdzanych ciągów to najczęstsze podstawienie( choć zwykle wygląda tak: \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)}\) ), a jednocześnie to przypadek gdy oba ułamki w mianowniku mają tem sam stopień mianownika.
Druga i trzecia sprawdza co się dzieje gdy oba ułamki w mianowniku mają różny stopień mianownika.
Czwarta liczy granicę gdy licznik i mianownik w pierwotnym ułamku mają ten sam stopień mianowników podstawionych ułamków . (Różność w obie strony wystąpiła przy okazji we wcześniejszych sprawdzeniach).
Nie ma innych przypadków i dlatego twierdzę , zgodnie z definicją, że szukana granica wynosi 0.

A swoją drogą to czy to nie dziwne, że korzysta się z definicji granicy jedynie po to aby udowodnić jej brak? W takim razie powinna to być definicja Heinego nieistnienia granicy ciągu.

Nawet jeśli nie mamy pewności że tyle ta granica wynosi, bo nabyty sceptycyzm matematyczny sugeruje że może jednak istnieje kontrprzykład, to jest to niezła podstawa do weryfikacji wyników z innych metod

[Lider_M]

Nie ma innych przypadków i dlatego twierdzę , zgodnie z definicją, że szukana granica wynosi 0.

Bardzo złe wnioski. A na przykład taki ciąg? \(\displaystyle{ \left(\frac{\sin n}{n},\frac{\cos^{100}(e^n)}{n+n\sqrt{n}}\right)\to(0,0)}\), nie ma go pośród wymienionych przez Ciebie.

Gdy chce się skorzystać z definicji Heinego, trzeba wziąć w skrócie dowolne ciągi, a nie akurat takie szczególne, żeby wychodziły 'takie same, czy większe/ mniejsze' stopnie licznika i mianownika.

[kerajs]

Może doprecyzuję:
Podane podstwienia są REPREZANTAMI czterech możliwych klas podstawień. Skoro dowolny z danej klasy daje daną granice to każde podstawienie z danej klasy da tę samą granicę.
Twój przykład jest reprezentowany przez czwarte podstawienie.

Oczywiscie można komplikować podstawienie, ale zawsze można je uprościć lub ograniczyć łatwiejszym które można przypisać do danej klasy.

[PiotrowskiW]

Poszukujaca,
Możesz tak zrobić. (współrzędne biegunowe).

\(\displaystyle{ \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^{3} \cos^{3}x}{r^{2}\sin^{2}x+r^{2}\cos^{2}x} = \lim_{r \rightarrow 0} r \cos^{3}x}\)

W razie wątpliwości , to
\(\displaystyle{ -r \le r \cos^{3}x \le r}\)
Gdy r dąży do zera, to na mocy twierdzenia o trzech funkcjach...

[Poszukujaca]

PiotrowskiW, czyli po zamianie na współrzędne biegunowe mogę jeszcze wykorzystać twierdzenie o granicy trzech funkcji?

\(\displaystyle{ \lim_{r \rightarrow 0 } r \cos^{3} \varphi =0}\)

[PiotrowskiW]

Przecież liczysz po prostu granicę więc możesz stosować wszystkie metody liczenia granic.
Zamieniłaś granicę funkcji dwóch zmiennych na granicę funkcji jednej zmiennej. (zaraz tutaj matmatmm napisze, że to nie prawda...).

[Poszukujaca]

Mam jeszcze taką ciekawą granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} (1+x^{4}y^{4})^{\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}}\)

Próbuję tutaj z jakiegoś podstawienia..

[PiotrowskiW]

Najpierw na współrzędne biegunowe.
Wtedy otrzymamy
\(\displaystyle{ \lim_{ r \to 0}\left( 1+ r^{8}\cos^{4} \alpha \sin^{4} \alpha \right)^{ \frac{1}{r^{2}}}=
\lim_{ r \to 0} 1^{ \frac{1}{r^{2}}} \rightarrow 1^{\infty}}\) To trzeba zrobić jakoś inaczej, chyba.

To poniżej jest niedobre.
Ale rozważmy przypadki:
1. \(\displaystyle{ r \in \left( 0,1\right)}\)
Wówczas \(\displaystyle{ 1^{1} \le 1^{ \frac{1}{r^2}} \le 1^{0}}\)
Na mocy... granicą jest jeden.
2.\(\displaystyle{ r in left[ 1, infty
ight)}\)
Wówczas \(\displaystyle{ 1 \le 1^{ \frac{1}{r^2}} \le 1^{r^{2}}}\)
...

[Lider_M]

Co wyjdzie gdy podstawisz:
1. \(\displaystyle{ ( \frac{a}{n}, \frac{b}{n} )}\)
2. \(\displaystyle{ ( \frac{a}{n^2}, \frac{b}{n} )}\)
3. \(\displaystyle{ ( \frac{a}{n}, \frac{b}{n^2} )}\)
4. \(\displaystyle{ ( \frac{a}{n^2}, \frac{b}{n^3} )}\) ?

Może doprecyzuję:
Podane podstwienia są REPREZANTAMI czterech możliwych klas podstawień. Skoro dowolny z danej klasy daje daną granice to każde podstawienie z danej klasy da tę samą granicę.
Twój przykład jest reprezentowany przez czwarte podstawienie.

Oczywiscie można komplikować podstawienie, ale zawsze można je uprościć lub ograniczyć łatwiejszym które można przypisać do danej klasy.

A dlaczego w przypadkach 2., 3. różnica stopni między mianownikami wynosi dokładnie \(\displaystyle{ 1}\)? dlaczego nie \(\displaystyle{ 5}\)? tzn dlaczego by nie wziąć \(\displaystyle{ \left(\frac{a}{n},\frac{b}{n^6}\right)}\)? Zawsze trzeba brać różnicę \(\displaystyle{ 1}\)? Jak tak, to dlaczego? Jak nie ma znaczenia, to dlaczego? I dlaczego wystarczy brać tylko i wyłącznie funkcje wymierne, dlaczego mój przykład z sinusem wpisuje się do któregoś z Twoich REPREZENTANTÓW, przecież nie jest to funkcja wymierna. Ponadto, czy ta metoda jest stosowana tylko dla granic z funkcjami wymiernymi, czy dla innych również?

Możliwe że ta metoda "ze stopniami" działa dla granic z funkcjami wymiernymi, ale nie znam żadnego twierdzenia/własności mówiącej, że na pewno jest ona poprawna. W ogólności na pewno nie jest poprawna, bo jakby nie patrzeć, nie są to dowolne ciągi. Później zastanowię się nad jakimś kontrprzykładem.

Mam jeszcze taką ciekawą granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} (1+x^{4}y^{4})^{\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}}\)

Próbuję tutaj z jakiegoś podstawienia..

\(\displaystyle{ \left[(1+x^4y^4)^{\frac{1}{x^4y^4}}\right]^{\frac{x^4y^4}{x^2+y^2}}}\)
Nawias kwadratowy dąży do \(\displaystyle{ e}\), potęga nad nawiasem kwadratowym dąży do \(\displaystyle{ 0}\) (trzeba to pokazać), np. wykorzystując nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{a^2+b^2}\leqslant\frac{1}{2|ab|}}\)