Matematyka.pl

Chciałem się zapytać czy w przypadku twierdzenia Gaussa:
\(\displaystyle{ \iint\limits_S (X\; dy dz + Y\; dz dx + Z\; dx dy) = \iiint\limits_V \left( {\partial X \over \partial x} + {\partial Y \over \partial y} + {\partial Z \over \partial z} \right)\; dx dy dz}\)
można zawsze podzielić obszar \(\displaystyle{ V}\) na obszary normalne względem płaszczyzn układu? (Tak samo jak w przypadku twierdzenia Greena gdzie dzieli się obszar na obszary normalne względem obu osi). Wydaje mi się że nie ale nie jestem pewien.

Zawsze to pewnie nie. Stawiasz pytanie zbyt ogólnie. Ale w praktyce występują obszary, które podzielić można. A Tobie właśnie o to chodzi. Jeśli się da podzielić, to zachodzi wzór Gaussa-Ostrogradskiego.

Jeszcze tylko dla pewności się dopytam czy obszar ten musi być normalny względem trzech płaszczyzn \(\displaystyle{ Oxy}\), \(\displaystyle{ Oyz}\) i \(\displaystyle{ Ozx}\) jednocześnie ?

Takie jest założenie do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Inna kwestia na ile jest ono istotne, tzn. czy względnie łatwo podać przykład obszaru nie będącego normalnym względem jakiejś płaszczyzny i pola wektorowego, dla gtórego wzór G-O nie zachodzi.

Nie bardzo rozumiem. Czy mogę zastosować tw. G-O dla obszaru który jest normalny dla powiedzmy dla płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxz}\), \(\displaystyle{ Oyz}\) ale nie jest dla \(\displaystyle{ Oxy}\)?
Będę wtedy liczył np taką całkę:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{D_{XiZ}} \, dx\,dz \int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)} \left( {\partial X \over \partial x} +{\partial Y \over \partial y} + {\partial Z \over \partial z} \right)\; dy}\) ,gdzie \(\displaystyle{ D_{XiZ}}\) jest rzutem obszaru na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\).

Chodziło mi o kontrprzykład, czyli przykład na istotność założenia normalności względem każdej płaszczyzny.

Czyli o to czy istnieje przykład obszaru który nie jest normalny względem jakiejś płaszczyzny a wzór G-O dla takiego obszaru zachodzi?
Reasumując :
Stosując wzór G-O muszę sprawdzić normalność obszaru względem każdej płaszczyzny. Ale może zdarzyć się przykład gdzie obszar nie jest normalny względem pewnej płaszczyzny a wzór G-O będzie zachodził.

Czy dobrze rozumiem ?

Czyli o to czy istnieje przykład obszaru który nie jest normalny względem jakiejś płaszczyzny a wzór G-O dla takiego obszaru zachodzi?

Przykład, że wtedy wzór G-O nie zachodzi. Taki przykład pokazywałby istotność założenia normalności względem każdej płaszczyzny układu.

Stosując wzór G-O muszę sprawdzić normalność obszaru względem każdej płaszczyzny. Ale może zdarzyć się przykład gdzie obszar nie jest normalny względem pewnej płaszczyzny a wzór G-O będzie zachodził.

Sądzę, że tutaj dobrze zrozumiałeś. Zauważ, że jeśli pole wektorowe jest zerowe, to wzór G-O zachodzi niezależnie od tego jaki jest obszar