Kwadrat styczny zewnętrznie do dwóch okręgów

[madoris]

Rysunek przedstawia kwadrat, którego dwa wierzchołki leżą na prostej, a pozostałe dwa na zewnętrznie stycznych okręgach o promieniu 1, stycznych do tej prostej. Jakie jest pole tego kwadratu?

[a4karo]

Przesuń układ współrzędnych tak, żeby os OY przechodziła przez punkt styczności okręgów. wtedy współrzędne punktu J będą \(\displaystyle{ (a/2,a)}\). Dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) ten punkt leży na okręgu?

[madoris]

Właśnie to chcę wyznaczyć w sposób algebraiczny, lecz nie udawało mi się to, więc zapytałem tutaj.

Dzięki GeoGebrze wyznaczyłem (przez przypadek), że \(\displaystyle{ a=0.4}\), ale wolę bardziej rozumowe rozwiązanie

[piasek101]

Pionowa przez J; pozioma przez B i połączyć C z J.

[Longines]

Narysuj odcinki:
1. od środka okręgu do stycznej drugiego okręgu z prostą
2. rewers
Przecięcie się tych odcinków z okręgami wyznacza bok kwadratu

[kruszewski]

Zauważmy z rysunku,

że :
\(\displaystyle{ (r-a)^2 + (r- \frac{a}{2} )^2 = r^2}\)
Po rozwiązaniu względem a otrzymujemy :
\(\displaystyle{ a_1=2r}\), oraz \(\displaystyle{ a_2= \frac{2}{5} r}\)
Pierwsze rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ a=2r}\) , nie spełnia warunku zadania wskazanego na rysynku dołączonym do treści, choć rzeczywiście oba rozwiązania spełniają warunek :
"dwa wierzchołki leżą na prostej, a pozostałe dwa na zewnętrznie stycznych okręgach ",
zatem odrzucamy je.
Drogie rozwiązanie: \(\displaystyle{ a= \frac{2}{5} r}\) jest tym poszukiwanym.

W.Kr.

[a4karo]

@W.Kr. ładniutkie

\(\displaystyle{ a=2r}\) daje kwadrat, któy (moim zdaniem) tez spełnia warunki zadania: to kwadrat o wierzcholkach (z oryginalneho obrazka) \(\displaystyle{ (1,0), (3,0), (3,2), (1,2)}\)

[kruszewski]

Zauważyłem to, już poprawiałem rysunek i tekst.
Ukłony,
W.Kr.
"Dwa razy przeczytaj co napisałeś nim klikniesz wstaw".

Takie motto powinno mnie obowiązywać.

[madoris]

Witam, dziękuję za wszystkie odpowiedzi, szczególnie kruszewskiemu za rozwiązanie, które jest bardzo ładne objaśnione
Nie wiedziałem nawet, że odcinek pomiędzy środkiem okręgu, a punktem styczności drugiego okręgu daje punkty potrzebne do wyznaczenia kwadratu. Zawsze to coś nowego

Ja brnąc niejako po swojemu znalazłem inne (i mam nadzieję łatwiejsze) rozwiązanie.

Załóżmy, że połowa dolnej podstawy kwadratu leży na początku układu współrzędnych, a więc w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) Oś \(\displaystyle{ OY}\), będzie styczną do obu okręgów, tak samo oś \(\displaystyle{ OX}\), jak na rysunku na końcu tego posta.

Równanie okręgu po prawej jest równe \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=1}\)
Wyznaczmy prostą \(\displaystyle{ y=2x}\)
Mamy dzięki temu ładny układ równań. Podstawiając za \(\displaystyle{ y}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(2x-1)^2=1}\), co daje nam równanie \(\displaystyle{ 5x^2-6x+1=0}\)
Równanie daje nam dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1}{5}}\) i \(\displaystyle{ x_{2} = 1}\) - punkty przecięcia z okręgiem
Po przeanalizowaniu tego, doprowadzamy do wniosku, że chodzi o \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1}{5}}\), więc \(\displaystyle{ y=0.4}\)
Analogicznie robimy lewą stronę
\(\displaystyle{ y=-2x}\) - prosta, \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-1)^2=1}\) - okrąg, co daje nam \(\displaystyle{ x=-0.2}\) i \(\displaystyle{ y=0.4}\). Z tego możemy już zbudować kwadrat widoczny na rysunku, którego długość boku wynosi \(\displaystyle{ 0.4}\), a pole \(\displaystyle{ 0.16}\)

[a4karo]

Krótko mówiąc zrobiłeś dokładnie to, o czym pisałem w moim poście

Przesuń układ współrzędnych tak, żeby os OY przechodziła przez punkt styczności okręgów. wtedy współrzędne punktu J będą \(\displaystyle{ (a/2,a)}\). Dla jakiego a ten punkt leży na okręgu?

[kruszewski]

Kolega madoris pisze :
"Równanie okręgu po prawej jest równe \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=1}\)"
Otóż nie, bo równanie tego (jak i każdego innego) okręgu ma po prawej stronie znaku równości kwadrat miary promienia, owe \(\displaystyle{ r^2}\), zatem powinno być dla tego okręgu o r=1:
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=1^2}\)
Znając odciętą punktu przecięcia prostej z okręgiem i wiedząc że jest ona połową boku poszukiwanego kwadratu, zauważamy wprost, że jego pole jest równe poczwórnemu polu kwadratu zbudowanego na odciętej punktu wspólnego okręgu i prostej. Zatem \(\displaystyle{ A=4 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{4}{25}}\) pola kwadratu o boku równemu promieniowi okręgu.
Nie zachodzi więc potrzeba rozwiązywania " dla lewego okręgu".
W.Kr.
PS. A tak cichutko zauważę, że działania na ułamkach "zwyczajnych" dają wyniki nie tylko dokładne, ale i ładniejsze dla patrzącego.

[piasek101]

Pionowa przez J; pozioma przez B i połączyć C z J.

Do tego bok kwadratu \(\displaystyle{ 2x}\) i nie ma ,,ułamków".

[agata2323]

A czy ktoś umie to dobrze jak najprościej rozpisać?

[piasek101]

Z mojego (poczytaj wcześniejsze) :

\(\displaystyle{ (1-2x)^2+(1-x)^2=1^2}\)

[Kartezjusz]

Zobacz rozwiązanie Madorisa. Użył Twojego równania. Wszystko jest dobrze, ale mamy ułamki