Długość rzutu wektora na prostą

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: tadu983 » 12 lip 2014, o 10:28

W układzie \(Oxy\) mamy daną dowolną prostą \(l\) która tworzy z osiami układu kąty kierunkowe \(\alpha\) i \(\beta\) oraz wektor \(F=[X,Y]\) którego początek jest zaczepiony na dowolnym pkt. prostej \(l\). Jak udowodnić, że długość rzutu wektora\(F\) na prostą \(l\) jest równy \(X\cos \alpha+Y\cos \beta\).

robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: robertm19 » 12 lip 2014, o 11:18

Narysuj, poszukaj trójkątów prostokątnych.

tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: tadu983 » 12 lip 2014, o 12:21

Niestety dalej nie wiem jak to udowodnić. Wychodzą mi na rysunku różne trójkąty prostokątne ale nie potrafię z tego nic wywnioskować. Chciałem wrzucić obrazek ale wyskakuje mi komunikat:"Określenie wymiarów obrazka nie było możliwe." Proszę o dalsze podpowiedzi.

robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: robertm19 » 12 lip 2014, o 13:28

Poczytaj o iloczynie skalarnym.

tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: tadu983 » 12 lip 2014, o 14:02

Poczytałem ale dalej nie wiem jak to zrobić. Proszę o jakąś bardziej konkretną podpowiedź.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3377
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: AiDi » 12 lip 2014, o 14:09

Bardziej konkretna jest taka, że prosta jest wyznaczona przez wektor, np. o długości 1. Możemy wyznaczyć współrzędne tego wektora korzystając z kanonicznego iloczynu skalarnego na płaszczyźnie - obliczając iloczyn z wersorem w kierunku \(x\) i wersorem w kierunku \(y\). Dalej wystarczy zauważyć, że długość rzutu wektora na prostą jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora z unormowanym wektorem kierunkowym tej prostej.

tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: tadu983 » 12 lip 2014, o 16:21

Czyli mamy:
\(F=[X,Y]\) i \(V=[\cos \alpha,\cos \beta]\)
\(F \circ V =[X,Y] \circ [\cos \alpha,\cos \beta] = X\cos \alpha+Y\cos \beta\) ,gdzie \(\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}\)
Z drugiej strony mamy:
\(F \circ V =|F| \cdot |V| \cdot \cos (F,V) = \sqrt{\cos^2 \alpha +\cos^2 \beta} \cdot |F| \cdot \frac{F_{V}}{|F|}= F_{V}\)
(gdzie \(F_{V}\) jest miarą rzutu wektora\(F\) na oś wektora \(V\)).
Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
\(U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)\)
Myślę że trzeba wyjść z definicji czyli
\(U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}\)
no ale nie wiem jak to dalej udowodnić.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3377
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: AiDi » 12 lip 2014, o 17:44

tadu983 pisze: Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
\(U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)\)
Nie wiem czy jest konieczne udowodnienie tego, gdyż jest to na tyle standardowa równość, że raczej nikt tego w zadaniach nie wymaga W szkole średniej tak się definiuje iloczyn skalarny. A jak bardzo potrzebujesz to znajdziesz to pewnie na wikipedii.

tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: tadu983 » 12 lip 2014, o 17:52

No ale ja nie widzę równości pomiędzy:
\(U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)\) a
\(U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}\)
Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć. Wiem że jestem upierdliwy ale jeszcze poproszę o ten dowód.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3377
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: AiDi » 12 lip 2014, o 17:55

tadu983 pisze: Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć.
Czyżby.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny
Sekcja "interpretacja geometryczna".

tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: tadu983 » 12 lip 2014, o 18:45

Faktycznie jest przeoczyłem.
Chciałem tylko jeszcze się zapytać jak udowodnić wzór na rzut wektora \(F =[X,Y,Z]\) w przestrzeni na prostą \(l\). Powinien wynosić \(X\cos \alpha+Y\cos \beta +Z\cos \gamma\). Myślałem że jak będę miał sposób na udowodnienie tego na płaszczyźnie to przeniosę to na 3D . Ale tutaj chyba się nie da bo pierwiastek z kwadratów 3 cosinusów nie będzie wynosił 1. Jeszcze raz proszę o pomoc.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3377
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: AiDi » 13 lip 2014, o 12:57

Ale nie musisz żadnych kwadratów cosinusów obliczać Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą. Wektor ten zadany jest przez trzy cosinusy, drugi też masz zadany, więc z definicji mnożysz współrzędne przez siebie. Itd. Nic więcej nie musisz robić, to twoje "z drugiej strony mamy" w powyższym poście potrzebne nie było

tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo

Długość rzutu wektora na prostą

Post autor: tadu983 » 13 lip 2014, o 15:12

Napisałeś, że
Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą
.
No ale właśnie chcę zrozumieć dlaczego tak jest. Już wiem że jest tak na płaszczyźnie (bo powiedziałeś jak to udowodnić ), ale nie wiem czy zachodzi to w przestrzeni (bo nie mogę przenieść sposobu dowodzenia z 2D do 3D ).


Ok.Już kumam. Wielkie dzięki za pomoc.

ODPOWIEDZ