Matematyka.pl

Hipoteza Frankla, problem chyba nierozstrzygnięty, wpadłem na pewien pomysł, ale nie wiem jak dokończyć ten problem, czasem nie mam głowy do tego, więc proszę o pomoc, po bardzo licznych próbach samodzielnego rozwiązania.

Powiedzmy, że rodzina zbiorów jest zamknieta na sumowanie, gdy wraz ze zbiorami \(\displaystyle{ A,B}\) tej rodziny, do rodziny należy także \(\displaystyle{ A\cup B}\)

Hipoteza Frankla
Dla dowolnej skończonej i zamknietej na sumowanie rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\), gdzie \(\displaystyle{ \bigcup \mathcal{A} \neq \left\{ \right\}}\), to istnieje element \(\displaystyle{ x \in \bigcup \mathcal{A}}\), który należy do przynajmniej polowy zbiorów tej rodziny.

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) będzie taką rodziną zbiorów. Niech zawiera ona \(\displaystyle{ n}\) zbiorów niepustych i być może zbiór pusty \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left\{ A _{1}, A _{2},\ldots,A _{n},\varnothing \right\}}\) -
\(\displaystyle{ n+1}\) maksymalnie zbiorów
Łatwo sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) oraz dla \(\displaystyle{ n=2}\) hipoteza jest prawdziwa.
Możemy zatem założyć że \(\displaystyle{ n \ge 3}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
A_{1} & A _{2} & \ldots & A_{n-1} &A_{n}& \varnothing\\ \hline
A_{1}\cup A_{2} & A_{2}\cup A_{3} & \ddots & A_{n-1}\cup A_{n} & & \\
A_{1}\cup A_{3}&A_{2}\cup A_{4} & \\
\vdots & \vdots & \\
A_{1}\cup A_{n} & A_{2}\cup A_{n} & \\
\end{tabular}}\)
W tej tabeli wypisałem tyle niekoniecznie różnych zbiorów w postaci sum:
\(\displaystyle{ \left( n-1\right) +\left( n-2\right) +\left( n-3\right)+ \ldots +1= \frac{\left( n-1\right) \cdot n}{2}}\)
Ale te wszystkie zbiory- sumy- należą do rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\), bo ta rodzina jest zamknięta na sumowanie.
Zatem wśród tych zbiorów jest tylko co najwyżej \(\displaystyle{ n+1}\) różnych zbiorów.Zatem co najwyżej \(\displaystyle{ n-2}\) różnych zbiorów mogą pojawić się w postaci sum. Wypisałem w tabeli \(\displaystyle{ \frac{\left( n-1\right) \cdot n}{2}}\) zbiorów w postaci sum, niekoniecznie różnych.
Zatem znajdzie się tam zbiór, który wystapi co najmniej \(\displaystyle{ \frac{\left( n-1\right) \cdot n}{2 \cdot \left( n-2\right)} >n/2}\) razy. Zatem wystapi on co najmniej \(\displaystyle{ \frac{n}{2} + \frac{1}{2}= \frac{n+1}{2}}\) razy
Z trudem oszacowałem.

Może was zdziwie, ale nie wiem jak to skończyć.
Wybierzmy jeden z elementów tego zbioru. Weźmy pierwsze przedstawienie, wybrany element wpadnie do jednego ze zbiorów. W porzadku. Weźmy drugie przedstawienie, element wpadnie do chociaż jednego zbioru, ale może do tego samego co poprzednio- może być np. \(\displaystyle{ X=A_{1} \cup A_{2}=A_{1} \cup A_{3}}\)
Takie, itp. mam problemy z powtarzaniem się zbiorów, i nie wiem jak to dokończyć. Jak wybrać ten element?

Proszę o pomoc.

Niech zawiera ona n zbiorów niepustych i być może zbiór pusty

Drobna uwaga: zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze.

Abo Jakub Gurak chciał napisać: niech jej elementami będzie \(\displaystyle{ n}\) zbiorów niepustych i być może zbiór pusty.

Tak, właśnie.

Z tymi zbiorami pustymi trzeba ostrożnie: jeżeli rodzina składa się ze zbioru \(\displaystyle{ \{1\}}\) i trzech zbiorów pustych, to hipoteza nie jest prawdziwa. Założenia hipotezy musisz doprecyzować.

A rodzina to nie jest synonim zbioru? Bo jeśli tak, to nie bardzo upchasz do niej trzy zbiory puste.

Zbiór pewnych zbiorów, to inaczej rodzina zbiorów, i w niej jej elementy (zbiory) są różne ( jak w każdym zbiorze)

Znowu drobna uwaga: Zbiór pusty jest tylko jeden w całej matematyce.

Tą metodą zadania nie rozwiążę.
Rozważmy rodzinę zbiorów: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \right\},\left[ 0,10\right],\left[ 0,5\right] ,\left[ 0,6\right],\left[ 2,10\right],\left[ 3,10\right],\left[ 4,10\right],\left[ 5,10\right]\right\} \cup \left\{ \left[ 0<x<2,10\right] \right\}}\)
tzn. uzupełniamy ją przedziałami liczbowymi, tak aby była 15-elementowa
i zamknieta na sumowanie ( można to zrobić, wybierając jako lewy koniec przedziału liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\),tak jak zaproponowałem)

Możemy przedstawić:

\(\displaystyle{ \left[ 0,10\right]=\left[ 0,5\right] \cup \left[ 5,10\right]=\left[ 0,5\right] \cup \left[ 4,10\right]=\left[ 0,5\right] \cup \left[ 3,10\right]=\left[ 0,5\right] \cup \left[ 2,10\right]=\left[ 0,6\right] \cup \left[ 5,10\right]=\left[ 0,6\right] \cup \left[ 4,10\right]=\left[ 0,6\right] \cup \left[ 3,10\right]=\left[ 0,6\right] \cup \left[ 2,10\right]}\)

Ten zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0,10\right]}\) jest przedstawiony na \(\displaystyle{ 8}\) sposobów, a wiec ponad połowę
I nie sposób wybrac tu element należący do ośmiu zbiorów, jak mamy w postaci sum użyte \(\displaystyle{ 6}\) zbiorów - +\(\displaystyle{ \left[ 0,10\right]}\) -to \(\displaystyle{ 7}\), ale do \(\displaystyle{ 8}\) braknie

Także tym sposobem zadania nie rozwiążę.

Nie zmienia to faktu, że hipoteza może być prawdziwa.

Hmmm, a co to jest \(\displaystyle{ \left\{ \left[ 0<x<2,10\right] \right\}}\)? Bo \(\displaystyle{ \{\}}\) to jak sądzę zbiór pusty \(\displaystyle{ \emptyset}\).

JK