[IMO 2014] Zadania

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
pawel98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 11 lut 2013, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Goleniów

[IMO 2014] Zadania

Post autor: pawel98 » 8 lip 2014, o 22:14

Dzień 1.
Zadanie 1. Dany jest nieskończony ciąg dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_0<a_1<a_2<\ldots}\). Dowieść, że istnieje dokładnie jedna liczba całkowita \(\displaystyle{ n\geq 1}\), dla której spełnione jest:
\(\displaystyle{ a_n<\frac{a_0+a_1+\ldots + a_n}{n}\leq a_{n+1}.}\)
Zadanie 2. Niech \(\displaystyle{ n\geq 2}\) będzie liczbą całkowitą. Rozważmy szachownicę \(\displaystyle{ n\times n}\) składającą się z \(\displaystyle{ n^2}\) kwadratów jednostkowych. Konfigurację \(\displaystyle{ n}\) wież nazwiemy spokojną jeśli każdy wiersz i każda kolumna zawiera dokładnie jedną wieżę. Wyznaczyć największą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\), że dla każdej spokojnej konfiguracji \(\displaystyle{ n}\) wież istnieje kwadrat o wymiarach \(\displaystyle{ k\times k}\) składający się z \(\displaystyle{ k^2}\) kwadratów jednostkowych nie zawierających żadnej wieży.
Zadanie 3. W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) zachodzi \(\displaystyle{ \angle ABC=\angle ADC=\frac{\pi}{2}}\). Punkt \(\displaystyle{ H}\) jest rzutem prostokątnym \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ BD}\). Punkty \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\), przy czym \(\displaystyle{ H}\) leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ \triangle TCS}\) oraz spełnione są równości kątów
\(\displaystyle{ \angle CHS-\angle CSB=\frac{\pi}{2},}\)
\(\displaystyle{ \angle THC-\angle DTC=\frac{\pi}{2}.}\)
Udowodnić, że prosta \(\displaystyle{ BD}\) jest styczna do okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ TSH}\).-- 8 lip 2014, o 21:37 --
Zadanie 1.:    

Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 392
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 62 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: Pinionrzek » 9 lip 2014, o 16:58

Dzień drugi
4.
Niech punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą na odcinku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) i spełniają następujące własności: \(\displaystyle{ \angle PAB=\angle BCA}\) oraz \(\displaystyle{ \angle CAQ=\angle ABC}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) będą takimi punktami na prostych \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ AQ}\), że \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AM}\), a \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AN}\). Wykazać, że punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ BM}\) oraz \(\displaystyle{ CN}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).
5.
Dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\) Cape Town Bank wydaje pewną liczbę monet, której wartość wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Rozważmy zbiór skończonej liczby tych monet (monety mogą mieć te same wartości), w którym suma wartości tych monet jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 99+ \frac{1}{2}}\). Wykazać, że można podzielić ten zbiór na co najwyżej 100 grup w taki sposób ,że suma wartości monet w każdej grupie nie przekracza 1.
6.
Niech grupa prostych na płaszczyźnie znajduje się w pozycji ogólnej, jeżeli żadne dwie z tych prostych nie są prostopadłe oraz żadne trzy nie są współpękowe. Grupa prostych w pozycji ogólnej tnie płaszczyznę na części; niektóre z nich mają skończoną powierzchnię; nazywamy je częściami skończonymi. Udowodnić, że dla wszystkich wystarczająco dużych \(\displaystyle{ n}\), we wszystkich grupach \(\displaystyle{ n}\) prostych, znajdujących się w pozycjach ogólnych, możliwe jest pokolorowanie przynajmniej \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) prostych na niebiesko w taki sposób, że żadna ze skończonych części nie ma całkowicie niebieskiego obwodu.

Jakby były jakieś nieścisłości w treściach, to piszcie. Wiadomo już coś o wynikach naszej reprezentacji?
Ostatnio zmieniony 9 lip 2014, o 19:55 przez Pinionrzek, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: Htorb » 9 lip 2014, o 18:49

Zadanie 4:    

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: Ponewor » 9 lip 2014, o 19:23

Piąte jest źle, w tej wersji jest trywialne, ma być "co najwyżej".

Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 392
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 62 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: Pinionrzek » 9 lip 2014, o 19:55

Już poprawiłem.

pawel98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 11 lut 2013, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Goleniów

[IMO 2014] Zadania

Post autor: pawel98 » 9 lip 2014, o 20:25

Pinionrzek pisze: Wiadomo już coś o wynikach naszej reprezentacji?
Z tego co mi wiadomo to Kaszuba ma 5, Leonarski 2, reszta podobno 3.

Geftus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 18 mar 2010, o 14:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 13 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: Geftus » 10 lip 2014, o 02:43

Czwarte elementarniej:
Ukryta treść:    

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: kaszubki » 10 lip 2014, o 19:30

Dzisiaj była koordynacja zadań o numerach parzystych. Wyniki:
P2: 777073
P4: 777777
P6: 000001
Jutro będzie koordynacja pozostałych zadań.

Warunki są nie najlepsze, ale przecież przyjechaliśmy tu dla zawodów a nie warunków ( ͡° ͜ʖ ͡°)
Jednak przyznam, że ćwierkające ptaki na sali, remont tuż za oknem i temperatura nie przekraczająca 15 stopni mogły niektórym utrudnić pisanie zawodów.

I jak ktoś mi wytłumaczy jak to się dzieje, że Ukraina odnosi wyniki istotnie lepsze od Polski, to będę wdzięczny. Ogólnie można podzielić 12 reprezentantów tych państw na 6 par (u,p) tak, że w każdej parze u zrobił o około 1 zadanie więcej niż p.

pawel98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 11 lut 2013, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Goleniów

[IMO 2014] Zadania

Post autor: pawel98 » 10 lip 2014, o 19:45

Taki podział istnieje też dla zeszłorocznego IMO . Z tego wynika, że jest Ukraińczyk (Vadym Kalashnykov??), który będzie miał wynik bliski ~42?

Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 392
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 62 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: Pinionrzek » 10 lip 2014, o 21:23

pawel98 pisze:Taki podział istnieje też dla zeszłorocznego IMO
Ale dla tego sprzed dwóch i trzech lat już nie. Myślę więc, że Ukraina ma bardzo silne osoby w tym i w kilku następnych rocznikach.

pawel98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 11 lut 2013, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Goleniów

[IMO 2014] Zadania

Post autor: pawel98 » 10 lip 2014, o 21:26

No jest tam srebrny i złoty medalista z zeszłego roku. Reszta chyba "nowa".

Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 392
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 62 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: Pinionrzek » 10 lip 2014, o 21:42

Obie dziewczyny miały w tym roku złoto na EGMO.-- 10 lip 2014, o 21:14 --Geftus, w drugiej linijce od dołu Twojego rozwiązania powinno być tylko \(\displaystyle{ \angle BPM= \pi - \angle APQ= \pi -\angle AQP=\angle CQN}\), a tak to wszystko ok.

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: kaszubki » 11 lip 2014, o 18:02

pawel98 pisze:Z tego wynika, że jest Ukraińczyk (Vadym Kalashnykov??), który będzie miał wynik bliski ~42?
Niekoniecznie.

Ogólnie to mamy już punktację za wszystkie zadania, progi na medale będą za ok. 4 godziny.
Nie wrzucę wyników aż do ceremonii zakończenia, żeby nie zepsuć nikomu zabawy.

Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 392
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 62 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: Pinionrzek » 12 lip 2014, o 11:12

Dla tych, którzy chcą sobie popsuć zabawę, wyniki są już na oficjalnej stronie IMO.

emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

[IMO 2014] Zadania

Post autor: emil99 » 14 lip 2014, o 17:12

Ogólnie 1,2,4 łatwe za resztę się nie zabierałem bo z naszego teamu tylko Kaszuba zrobił coś ponad te zadania. 1 już było wstawione więc nie będę wrzucał, chociaż mam inne rozwiązanie niż pawel98, 4 mam tak jak Geftus, strasznie trywialne jak na IMO a 2 teraz napisze. Mam dość długie (mam nadzieje że dobre) rozwiązanie ale krótszego nie wymyśliłem.
Zadanie 2
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ