[MIX] Zadania różne III
: 2 lip 2014, o 21:07
1. Rozważamy taką grę: schody mają \(\displaystyle{ 2n+1}\) stopni, przy czym na najniższych \(\displaystyle{ n}\) stopniach są kamienie. Gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na przemian przekładają kamienie. Gracz \(\displaystyle{ A}\) może przełożyć wyżej dowolny kamień na pierwszy wolny stopień, zaś \(\displaystyle{ B}\) może dowolny kamień przełożyć o jeden stopień niżej, o ile nie jest on już zajęty przez inny kamień. Celem gracza \(\displaystyle{ A}\) jest położyć kamień na najwyższym stopniu. Czy \(\displaystyle{ B}\) może mu to uniemożliwić ?
Kwant
2. Dane są liczby \(\displaystyle{ (1,36), (2,35), ..., (12,25)}\) ustawione w ciąg \(\displaystyle{ b_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,…,12}\). Czy można wziąć po jednej liczbie z każdej z \(\displaystyle{ b_j}\), tak by ich suma była równa sumie tych liczb, które pozostały ? Czy odpowiedź będzie inna, gdy usunie się \(\displaystyle{ (12,25)}\) ?
KöMaL
3. rozwiązane przez Zahiona
Wskazać takie cztery liczby naturalne, aby suma każdej trójki spośród nich była liczbą pierwszą.
4. Czy dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieje \(\displaystyle{ f \in \ZZ[x]}\), taki, że liczby \(\displaystyle{ f(1) ,...., f(n)}\) są różnymi między sobą potęgami dwójki ?
5. \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą i taką, że \(\displaystyle{ f( f( f(x)) )= x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ f (f(x))= x}\) ?
6. W kole \(\displaystyle{ K(r=10)}\) jest ustalone \(\displaystyle{ 372}\) punkty. Udowodnić, że istnieje pierścień kołowy \(\displaystyle{ P(r_1= 2, r_2=3)}\) taki, że co najmniej \(\displaystyle{ 12}\) spośród tych punktów należy do \(\displaystyle{ P}\), tzn. \(\displaystyle{ P}\) przykrywa \(\displaystyle{ 12}\) bądź więcej z nich.
7. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b, m, n}\): \(\displaystyle{ (a^2+b^2)^m= (ab)^n}\) ?
8. Na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg przy czym \(\displaystyle{ AB}\) jest jego średnicą. Punkt \(\displaystyle{ E}\) jest symetryczny do \(\displaystyle{ A}\) względem środka odcinka \(\displaystyle{ CD}\). Wykazać że proste \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ BE}\) są prostopadłe.
9. Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o(O(0,0), r=1)}\). Wyznaczyć największą możliwie długość \(\displaystyle{ OC}\) , gdzie \(\displaystyle{ ABCD}\) jest kwadratem, zaś \(\displaystyle{ AD}\) jest cięciwą okręgu \(\displaystyle{ o}\).
10. rozwiązane przez fon_nojmana
Czy istnieje działanie \(\displaystyle{ *}\) na zbiorze skończonym (\(\displaystyle{ n}\)- elementowym) \(\displaystyle{ S}\) takie, że dla każdych \(\displaystyle{ a, b, c \in S}\):
jeśli \(\displaystyle{ a*b=a*c}\) to \(\displaystyle{ b=c}\)
\(\displaystyle{ a*(b*c) \neq (a*b)*c.}\)
11. rozwiązane przez Zahiona
Wyznaczyć minimum wyrażenia
\(\displaystyle{ |x-x_1| + |x-x_2| +….+ |x - x_{n-1}| + |x - x_n|}\)
gdzie \(\displaystyle{ 0 <x_1 < … < x_n}\)
12. rozwiązane przez Zahiona
Niech \(\displaystyle{ W(x)= x^{9999}+ x^{8888}+ x^{7777}+ x^{6666}+ x^{5555}+ x^{4444}+ x^{3333}+ x^{2222}+ x^{1111}+ 1}\) oraz \(\displaystyle{ U(x)=1+x+x^2+x^3+ x^4+ x^5+ x^6+ x^7 +x^8 +x^9}\).
Wykazać że \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ U}\).
13. Jaki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) w \(\displaystyle{ \underbrace{(((x-2)^2 - 2)^2- ….)^2- 2}_{n}}\) ?
14. Czy istnieje skończony zbiór \(\displaystyle{ M}\) złożony z punktów przestrzeni, nie zawarty w jednej płaszczyźnie i taki, że dla każdych punktów \(\displaystyle{ A, B \in M}\) istnieją takie dwa inne punkty \(\displaystyle{ C, D \in M}\), że proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe i różne ?
15. Niech \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) będą liczbami całkowitymi takimi, że \(\displaystyle{ 0 \leq a \leq b \leq 99}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \leq c \leq d \leq 99}\). I niech \(\displaystyle{ n_i = 101i + 1002^i}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n_a+ n_b \equiv n_c +n_d \bmod{10100}}\) to \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\).
16. rozwiązane przez Qnia
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y =1\\ (x^2+y^2)(x^3+y^3)=2\end{cases}}\)
17. rozwiązane przez Zahiona i Premislava
Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2 +z^2}\) o ile \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 - 3xyz =1.}\)
18. Jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych i niech \(\displaystyle{ S+1 = \{ x+1 : x \in S \}}\). Ile jest podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) takich, że \(\displaystyle{ S \cup S+1 = \{1,..., n \}}\) ?
19. \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą oraz \(\displaystyle{ f(x) f ( f(x))= 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Mając dane \(\displaystyle{ f(1000) = 999}\) obliczyć \(\displaystyle{ f(500)}\).
20. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ D}\) jest ortocentrum w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), i punkty \(\displaystyle{ D, B, C}\) nie są współliniowe, to \(\displaystyle{ A}\) jest ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\).
21. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ N}\) podzielną przez \(\displaystyle{ 83}\), i taka, że \(\displaystyle{ N^2}\) ma \(\displaystyle{ 63}\) dzielniki.
22. rozwiązane przez HuBsona i Ponewora
Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ x^{24}+ y^{24}= z^{24}+3}\) nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ N}\).
23. rozwiązane przez Hydra147
Wyznaczyć największą możliwie liczbę naturalną \(\displaystyle{ n \leq 1000}\), której nie można przedstawić w formie \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 4x \rfloor + \lfloor 8x \rfloor}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą rzeczywistą, oraz wyznaczyć ilość liczb naturalnych \(\displaystyle{ 1 \leq n \leq 1000}\), które nie są w tej formie.
24. rozwiązane przez Zahiona
Wyznaczyć takie liczby naturalne \(\displaystyle{ m, n}\) aby
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt[3]{7m+n}- \sqrt[3]{7m -n} = \sqrt[3]{2}\\ 3m-n=2\end{cases}}\)
25. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ 10^{30}}\), które nie sa kwadratami, sześcianami, ani piątymi potęgami innych liczb całkowitych ?
26. Udowodnić, że dwie parabole, których osie symetrii są prostopadłe przecinają się w czterech punktach współokręgowych.
27. rozwiązane przez Zahiona
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z= xyz}\) to
\(\displaystyle{ x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)= 4xyz}\) .
28. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 11, ….}\); w ciągu tym liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) są \(\displaystyle{ p}\) razy, a złożone tylko raz. Ile to jest \(\displaystyle{ a_{2014}}\) ?
29. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, to z cyfr 1 i 2 można zbudować liczbę \(\displaystyle{ n}\) cyfrową, która jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^n}\).
30. Ile razy średnio należy losować liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,...,n \}}\) aby każda liczba została w końcu wylosowana (chociaż raz) ?
31. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ f, g, h}\) są funkcjami rzeczywistymi, to istnieją \(\displaystyle{ x, y, z}\), takie, że \(\displaystyle{ 0 \leq x, y, z \leq 1}\) oraz \(\displaystyle{ |xyz - f(x) - g(y) - h(z)| \geq \frac{1}{3}}\).
32. Kwadratowa pole \(\displaystyle{ 7 \times 7}\) podzielone jest na \(\displaystyle{ 49}\) pól jednostkowych. Każdy chwast rozprzestrzenia się na te części które sąsiadują (mają wspólny bok) z co najmniej trzema już zachwaszczonymi. Ile początkowo części musi być zachwaszczonych, aby całe pole zostało zachwaszczone ?
33. rozwiązane przez Ponewora
Liczba naturalna \(\displaystyle{ N}\) jest w formie \(\displaystyle{ 3a^2+32b^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są jakimiś liczbami całkowitymi. Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 97N}\) jest też w tej formie (tj. z innymi \(\displaystyle{ a, b}\)).
KöMaL
Kwant
2. Dane są liczby \(\displaystyle{ (1,36), (2,35), ..., (12,25)}\) ustawione w ciąg \(\displaystyle{ b_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,…,12}\). Czy można wziąć po jednej liczbie z każdej z \(\displaystyle{ b_j}\), tak by ich suma była równa sumie tych liczb, które pozostały ? Czy odpowiedź będzie inna, gdy usunie się \(\displaystyle{ (12,25)}\) ?
KöMaL
3. rozwiązane przez Zahiona
Wskazać takie cztery liczby naturalne, aby suma każdej trójki spośród nich była liczbą pierwszą.
4. Czy dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieje \(\displaystyle{ f \in \ZZ[x]}\), taki, że liczby \(\displaystyle{ f(1) ,...., f(n)}\) są różnymi między sobą potęgami dwójki ?
5. \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą i taką, że \(\displaystyle{ f( f( f(x)) )= x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ f (f(x))= x}\) ?
6. W kole \(\displaystyle{ K(r=10)}\) jest ustalone \(\displaystyle{ 372}\) punkty. Udowodnić, że istnieje pierścień kołowy \(\displaystyle{ P(r_1= 2, r_2=3)}\) taki, że co najmniej \(\displaystyle{ 12}\) spośród tych punktów należy do \(\displaystyle{ P}\), tzn. \(\displaystyle{ P}\) przykrywa \(\displaystyle{ 12}\) bądź więcej z nich.
7. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b, m, n}\): \(\displaystyle{ (a^2+b^2)^m= (ab)^n}\) ?
8. Na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg przy czym \(\displaystyle{ AB}\) jest jego średnicą. Punkt \(\displaystyle{ E}\) jest symetryczny do \(\displaystyle{ A}\) względem środka odcinka \(\displaystyle{ CD}\). Wykazać że proste \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ BE}\) są prostopadłe.
9. Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o(O(0,0), r=1)}\). Wyznaczyć największą możliwie długość \(\displaystyle{ OC}\) , gdzie \(\displaystyle{ ABCD}\) jest kwadratem, zaś \(\displaystyle{ AD}\) jest cięciwą okręgu \(\displaystyle{ o}\).
10. rozwiązane przez fon_nojmana
Czy istnieje działanie \(\displaystyle{ *}\) na zbiorze skończonym (\(\displaystyle{ n}\)- elementowym) \(\displaystyle{ S}\) takie, że dla każdych \(\displaystyle{ a, b, c \in S}\):
jeśli \(\displaystyle{ a*b=a*c}\) to \(\displaystyle{ b=c}\)
\(\displaystyle{ a*(b*c) \neq (a*b)*c.}\)
11. rozwiązane przez Zahiona
Wyznaczyć minimum wyrażenia
\(\displaystyle{ |x-x_1| + |x-x_2| +….+ |x - x_{n-1}| + |x - x_n|}\)
gdzie \(\displaystyle{ 0 <x_1 < … < x_n}\)
12. rozwiązane przez Zahiona
Niech \(\displaystyle{ W(x)= x^{9999}+ x^{8888}+ x^{7777}+ x^{6666}+ x^{5555}+ x^{4444}+ x^{3333}+ x^{2222}+ x^{1111}+ 1}\) oraz \(\displaystyle{ U(x)=1+x+x^2+x^3+ x^4+ x^5+ x^6+ x^7 +x^8 +x^9}\).
Wykazać że \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ U}\).
13. Jaki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) w \(\displaystyle{ \underbrace{(((x-2)^2 - 2)^2- ….)^2- 2}_{n}}\) ?
14. Czy istnieje skończony zbiór \(\displaystyle{ M}\) złożony z punktów przestrzeni, nie zawarty w jednej płaszczyźnie i taki, że dla każdych punktów \(\displaystyle{ A, B \in M}\) istnieją takie dwa inne punkty \(\displaystyle{ C, D \in M}\), że proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe i różne ?
15. Niech \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) będą liczbami całkowitymi takimi, że \(\displaystyle{ 0 \leq a \leq b \leq 99}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \leq c \leq d \leq 99}\). I niech \(\displaystyle{ n_i = 101i + 1002^i}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n_a+ n_b \equiv n_c +n_d \bmod{10100}}\) to \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\).
16. rozwiązane przez Qnia
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y =1\\ (x^2+y^2)(x^3+y^3)=2\end{cases}}\)
17. rozwiązane przez Zahiona i Premislava
Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2 +z^2}\) o ile \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 - 3xyz =1.}\)
18. Jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych i niech \(\displaystyle{ S+1 = \{ x+1 : x \in S \}}\). Ile jest podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) takich, że \(\displaystyle{ S \cup S+1 = \{1,..., n \}}\) ?
19. \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą oraz \(\displaystyle{ f(x) f ( f(x))= 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Mając dane \(\displaystyle{ f(1000) = 999}\) obliczyć \(\displaystyle{ f(500)}\).
20. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ D}\) jest ortocentrum w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), i punkty \(\displaystyle{ D, B, C}\) nie są współliniowe, to \(\displaystyle{ A}\) jest ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\).
21. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ N}\) podzielną przez \(\displaystyle{ 83}\), i taka, że \(\displaystyle{ N^2}\) ma \(\displaystyle{ 63}\) dzielniki.
22. rozwiązane przez HuBsona i Ponewora
Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ x^{24}+ y^{24}= z^{24}+3}\) nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ N}\).
23. rozwiązane przez Hydra147
Wyznaczyć największą możliwie liczbę naturalną \(\displaystyle{ n \leq 1000}\), której nie można przedstawić w formie \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 4x \rfloor + \lfloor 8x \rfloor}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą rzeczywistą, oraz wyznaczyć ilość liczb naturalnych \(\displaystyle{ 1 \leq n \leq 1000}\), które nie są w tej formie.
24. rozwiązane przez Zahiona
Wyznaczyć takie liczby naturalne \(\displaystyle{ m, n}\) aby
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt[3]{7m+n}- \sqrt[3]{7m -n} = \sqrt[3]{2}\\ 3m-n=2\end{cases}}\)
25. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ 10^{30}}\), które nie sa kwadratami, sześcianami, ani piątymi potęgami innych liczb całkowitych ?
26. Udowodnić, że dwie parabole, których osie symetrii są prostopadłe przecinają się w czterech punktach współokręgowych.
27. rozwiązane przez Zahiona
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z= xyz}\) to
\(\displaystyle{ x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)= 4xyz}\) .
28. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 11, ….}\); w ciągu tym liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) są \(\displaystyle{ p}\) razy, a złożone tylko raz. Ile to jest \(\displaystyle{ a_{2014}}\) ?
29. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, to z cyfr 1 i 2 można zbudować liczbę \(\displaystyle{ n}\) cyfrową, która jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^n}\).
30. Ile razy średnio należy losować liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,...,n \}}\) aby każda liczba została w końcu wylosowana (chociaż raz) ?
31. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ f, g, h}\) są funkcjami rzeczywistymi, to istnieją \(\displaystyle{ x, y, z}\), takie, że \(\displaystyle{ 0 \leq x, y, z \leq 1}\) oraz \(\displaystyle{ |xyz - f(x) - g(y) - h(z)| \geq \frac{1}{3}}\).
32. Kwadratowa pole \(\displaystyle{ 7 \times 7}\) podzielone jest na \(\displaystyle{ 49}\) pól jednostkowych. Każdy chwast rozprzestrzenia się na te części które sąsiadują (mają wspólny bok) z co najmniej trzema już zachwaszczonymi. Ile początkowo części musi być zachwaszczonych, aby całe pole zostało zachwaszczone ?
33. rozwiązane przez Ponewora
Liczba naturalna \(\displaystyle{ N}\) jest w formie \(\displaystyle{ 3a^2+32b^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są jakimiś liczbami całkowitymi. Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 97N}\) jest też w tej formie (tj. z innymi \(\displaystyle{ a, b}\)).
KöMaL