Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ T_{k}}\) będzie chwilą pojawienia się k-tego sukcesu w nieskończonym ciągu prób Berouliego. Wyznacz:

\(\displaystyle{ P(T_{1}=n|T_{2}=k)}\) dla \(\displaystyle{ n<k}\)

\(\displaystyle{ P(T_{1}=n|T_{2}=k)= \frac{P(T_{1}=n,T_{2}=k)}{P(T_{2}=k}= \frac{ q^{n-1}p q^{k-n-1}p }{(k-1)p^2q^{k-2}}= \frac{1}{k-1}}\)

Nie rozumiem tego co się dzieje w liczniku i mianowniku po drugim znaku nierówności rozwiązania. Szczególnie (k-1) - skąd to!? :/

Rozumiem, że to rozkład Bernouliego, ale dlaczego takie podstawienia ?

W liczniku masz prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń, czyli pierwszy sukces był w n-tej próbie i drugi sukces był w k-tej próbie. Stąd: najpierw było \(\displaystyle{ n-1}\) porażek, potem pierwszy sukces, potem było \(\displaystyle{ k-n-1}\) porażek i potem drugi sukces. Stąd takie są w liczniku wykładniki przy prawdopodobieństwach sukcesu i porażki
W mianowniku masz prawdopodobieństwo, że drugi sukces był w k-tej próbie, a pierwszy sukces był w dowolnej z k-1 prób. Czyli w k próbach były dwa sukcesy i \(\displaystyle{ k-2}\) porażki.