Pole i objętość

[puma941]

a) oblicz pole figury płaskiej ograniczonej wykresami funkcji \(\displaystyle{ y= \frac{4}{1+ x^{2} }}\) i \(\displaystyle{ y= \sqrt{x}}\) oraz osią Oy (\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)).

b) Oblicz objętość bryły utworzonej obróceniem figury płaskiej, ograniczonej krzywą \(\displaystyle{ y= \sqrt{ x^{2}+4 }}\), osiami Ox i Oy oraz prostą \(\displaystyle{ x=2}\) wokół osi Oy.

[kerajs]

a)
\(\displaystyle{ P= \int_{0}^{1}\left( \frac{4}{x^2+1}- \sqrt{x} \right) \mbox{d}x =....}\)

b)=
\(\displaystyle{ V= \pi \int_{0}^{2} \left( \sqrt{x^2+4} \right)^2 \mbox{d}x =....}\)

[puma941]

Przy objętości nie powinno być \(\displaystyle{ \ 2 \pi}\) ?

[bakala12]

puma941, nie ma być samo \(\displaystyle{ \pi}\)

[puma941]

Mam obrót wokół osi Oy, więc objętość nie powinna być ze wzoru:

\(\displaystyle{ V=2 \pi \int_{a}^{b}xf(x)dx}\) ?

Bo

\(\displaystyle{ V=\pi \int_{a}^{b}f ^{2} (x)dx}\)

jest dla obrotu wokół osi Ox...

[kerajs]

Mea culpa, nie doczytałem do końca.
Tu obszar obracany jest ograniczony trzema prostymi i hiperbolą. Po obrocie masz objętość będącą walcem z fragmentem wyciętym przez hiperboloidę obrotowa dwupowłokową.
\(\displaystyle{ V= \pi \int_{0}^{2 \sqrt{2} }2^2 \mbox{d}y- \pi \int_{2}^{2 \sqrt{2} } (y^2-4) \mbox{d}y=...}\)

A korzystam ze wzoru:
\(\displaystyle{ V= \pi \int_{y _{1} }^{y _{2} } \left( f ^{-1} (y)\right)^2 \mbox{d}y}\) czyli \(\displaystyle{ V= \int_{a}^{b} x^2 \mbox{d}y}\)

[puma941]

Ok, dziękuję bardzo!
Już rozumiem o co chodzi. Tylko chyba przy obydwóch całkach powinno być \(\displaystyle{ \ 2 \sqrt{2}}\), prawda?