Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ \int \sin 2x \ \cos 4x \ dx}\)

b) \(\displaystyle{ \int \frac{2x-1}{ x^{2}+2x+2 } \ dx}\)

c) \(\displaystyle{ \int \sin ^{3}2x \ dx}\)

Bardzo proszę o pomoc w obliczeniu powyższych całek.

W trzeciej najpierw podstawiamy \(\displaystyle{ 2x=t\Rightarrow dx=\frac12dt}\), dostaniemy wtedy całkę
\(\displaystyle{ \frac12\int\sin^3tdt=\frac12\int(1-\cos^2t)\sin tdt}\)
no i teraz podstawienie \(\displaystyle{ \cos t=z\Rightarrow \sin tdt=-dz}\)
i będzie całka
\(\displaystyle{ -\frac12\int(1-z^2)dz}\)
z którą żadnych problemów być nie powinno.

Druga jest standardową całką wymierną (ułamek prosty drugiego rodzaju)
\(\displaystyle{ \int\frac{2x-1}{x^2+2x+2}dx=\int\frac{2x+2-3}{x^2+2x+2}dx=
\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}dx-3\int\frac{dx}{x^2+2x+2}}\)
W pierwszej licznik jest pochodną mianownika, mamy zatem
\(\displaystyle{ \int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}dx=\ln(x^2+2x+2)}\).
W drugiej typowo
\(\displaystyle{ -3\int\frac{dx}{x^2+2x+2}=-3\int\frac{dx}{(x+1)^2+1}=\left|\begin{array}{c}x+1=t\\ dx=dt\end{array}\right|=-3\int\frac{dt}{t^2+1}}\)
i wszystko jasne.

Pierwsza to proste użycie jednego z dziesiątek wzorów trygonometrycznych o których wiem, że istnieją, oczywiście ich nie pamiętam bo zawsze można je znaleźć.
Chodzi o wzór postaci \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\beta=...}\).

\(\displaystyle{ \int sin2x \ cos4x \ dx}\)

Można ze wzorków na sinus sumy i różnicy ale ,można też dwa razy przez części

\(\displaystyle{ \int sin2x \ cos4x \ dx=\frac{1}{4}\sin{2x}\sin{4x}-\frac{1}{2}\int{\cos{2x}\sin{4x}\mbox{d}x}\\
\int sin2x \ cos4x \ dx=\frac{1}{4}\sin{2x}\sin{4x}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\cos{4x}\cos{2x}-\frac{1}{2}\int{\sin{2x}\cos{4x}\mbox{d}x}\right)\\
\frac{3}{4}\int sin2x \ cos4x \ dx=\frac{1}{4}\sin{2x}\sin{4x}+\frac{1}{8}\cos{2x}\cos{4x}\\
\int sin2x \ cos4x \ dx=\frac{1}{6}\left( 2\sin{2x}\sin{4x}+\cos{2x}\cos{4x}\right)+C}\)

\(\displaystyle{ \int sin2x \ cos4x \ dx=\int{\sin{2x}\left( 2\cos^{2}{2x}-1\right) \mbox{d}x }\\
t=\cos{2x}}\)

Mam jeszcze problem z taką całką:

\(\displaystyle{ \int \left( \sqrt{x ^{2}+4 }\right) ^{2}dx}\)

Podnieś do kwadratu ten pierwiastek po prostu.

Pomoże mi ktoś jeszcze z taką całką:

\(\displaystyle{ \int \ln ^{2}2xdx}\)

Podstaw sobie najpierw \(\displaystyle{ 2x=t}\), potem już dwukrotnie przez części zrób. W pierwszym ruchu zrób: \(\displaystyle{ u=\ln^2 t \ \ v'=1}\)