Granica funkcji

[puma941]

Mam obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{e^{2x}-1 }{e^{3x}-1}}\)

Wychodzi symbol nieoznaczony: \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right]}\).
Co dalej?

[Lider_M]

Można skorzystać z reguły de L'Hospitala lub np. ze znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{a\to 0}\frac{e^a-1}{a}=1}\).

[puma941]

Reguła de L'Hospitala coś da?
Pochodna z \(\displaystyle{ e^{x}}\) to nadal \(\displaystyle{ e^{x}}\) .

Więc wydaje mi się, że wyjdzie:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{e^{2x} }{e^{3x}}}\)

a to nadal daje \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right]}\) .

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ e^{0}=1}\), poza tym źle liczysz pochodne.

[puma941]

No tak, faktycznie \(\displaystyle{ e^{0}=1}\), mój błąd.

Co do pochodnych, \(\displaystyle{ e^{2x}}\) powinnam liczyć ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, tak?

Czyli \(\displaystyle{ 2e^{2x}}\) więc ostatecznie granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) ?

[Kacperdev]

Tak.

[puma941]

Dziękuję!

Mam jeszcze jedną granicę do wyliczenia: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{\ln \sin 3x }{\ln \sin 2x}}\) .

Korzystam z reguły de L'Hospitala:

\(\displaystyle{ (\ln \sin 3x)'= \frac{3\cos 3x}{\sin 3x}=3\ctg 3x}\)

\(\displaystyle{ (\ln \sin 2x)'= \frac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\ctg 2x}\)

wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{3\ctg 3x }{2\ctg 2x}}\)

Czy to jest dobrze? Co dalej?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ = \lim_{ x \to 0^{+} } \frac{3 \cos 3x \cdot \sin 2x }{\sin 3x \cdot 2 \cos 2x} = ...}\)

Korzystamy z granicy specjalnej:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\)

Czyli mnoże licznik i mianownik razy \(\displaystyle{ x}\) i robie porządek

\(\displaystyle{ ...= \lim_{ x \to 0^{+} } \left( \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{ \cos 3x}{ \cos 2x}\right) = 1}\)

[puma941]

A taka granica: \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0 ^{+} } \frac{\ln\sin 2x}{\ln\tg 2x}}\)

Z de l'Hospitala wyliczyłam:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0 ^{+} } \ctg 2x \cdot \tg 2x \cdot \cos ^{2}2x=0}\)

Dobrze jest?

[Kacperdev]

Nie. \(\displaystyle{ \ctg 2x= \frac{1}{\tg 2x}}\) więc tangensy i kotangensy Ci sie zredukują.

[Jelon]

mi wychodzi jedynka

[puma941]

No tak, faktycznie. Dziękuję!

Teraz też mi wychodzi \(\displaystyle{ 1}\).