Matematyka.pl

Czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ x _{1}, ... ,x _{n}}\) takich, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x _{1} }+...+ \frac{1}{x _{n} }= 1}\), przy czym liczby te są parami różne ?

Daleko szukać nie trzeba, nieskończony ciąg geometryczny: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{2^k}=1}\).

Czy ideą rozwiązania Diana7 jest generowanie kolejnych rozwiązań ?
Niech a_n będzie największą liczbą spośród\(\displaystyle{ a_1, a_2, ... ,a_n}\). Jeżeli\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}=1}\), to również \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{2a_n}+\frac{1}{3a_n}+\frac{1}{6a_n}=1}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \frac{1}{a _{1} }+...+ \frac{1}{a _{n-1} }+ \frac{1}{18a _{n} } + \frac{1}{12a _{n} } + \frac{1}{3a _{n} } + \frac{1}{2a _{n} } + \frac{1}{36a _{n} }}\) ?

kamil13151, co twój post wnosi do tematu?

diana7, wg. mnie bardziej chodzi o rozstrzygnięcie, czy dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\) takich ciągów \(\displaystyle{ n}\)-elementowych jest nieskończenie wiele. Wówczas twój argument zawodzi. Lecz z kolei wtedy odpowiedź jest oczywista.

Zahion pisze:Czy ideą rozwiązania Diana7 jest generowanie kolejnych rozwiązań ?
Niech a_n będzie największą liczbą spośród\(\displaystyle{ a_1, a_2, ... ,a_n}\). Jeżeli\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}=1}\), to również \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{2a_n}+\frac{1}{3a_n}+\frac{1}{6a_n}=1}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \frac{1}{a _{1} }+...+ \frac{1}{a _{n-1} }+ \frac{1}{18a _{n} } + \frac{1}{12a _{n} } + \frac{1}{3a _{n} } + \frac{1}{2a _{n} } + \frac{1}{36a _{n} }}\) ?

Tak. Oczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ n}\) nie jest ustalone.

Po prostu każdy inaczej zinterpretował problem. Diana wykazała, że istnieje nieskończenie wiele takich skończonych ciągów liczb całkowitych, których wyrazy są parami różne, a ich odwrotności sumują się do jedynki. Kamil wykazał, że istnieje nieskończony ciąg liczb całkowitych, którego wyrazy są parami różne, a ich odwrotności sumują się do jedynki (swoją drogą czy ich też jest nieskończenie wiele?). W wypadku ustalonego n odpowiedź jest oczywista, więc raczej nie o to chodziło.

Zadanie jest sformułowane bez sensu, stąd też rozbieżne odpowiedzi...

W zadaniu mowa o nieskończenie wielu liczbach, po czym wymienia się skończenie wiele liczb \(\displaystyle{ x_1,\ldots, x_n}\) i sumuje również skończenie wiele liczb.

Więc o co w końcu chodzi w zadaniu?

Chodziło mi o to czy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania \(\displaystyle{ \frac{1}{x _{1} }+...+ \frac{1}{x _{n} }=1}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) nie jest ustalone. Przepraszam za wszelkie niedopowiedzenia.

Jak \(\displaystyle{ n}\) nie jest ustalone to jest to oczywiste. Przy danym \(\displaystyle{ n}\) wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x_1 = ... = x_n = n}\).

A poza tym chodzi o ustalenie czy tych rozwiązań przy danym n jest nieskończenie wiele (o ile dobrze rozumiem), a nie o pokazanie przykładu. W innym wypadku konstrukcja Diany działa dla wszystkich n nieparzystych (swoją droga potrafi ktoś podać przykład dla parzystego n?).
EDIT:
Ok, mam:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20} =1}\)

-- 29 cze 2014, o 14:14 --

Znalazłem na necie takie oto twierdzenie (niestety bez dowodu), które odpowiadałoby na odpowiedź Zahiona (jest negatywna-dla ustalonego n mamy ich tylko skończenie wiele):
Twierdzenie:
Jeżeli jedynkę przedstawimy w postaci sumy odwrotności \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych oraz przez \(\displaystyle{ m}\) oznaczymy największy spośród mianowników występujących w jej rozkładzie to zachodzi nierówność \(\displaystyle{ m \le a_{n+1}-1}\), gdzie ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) określony jest następującymi wzorami:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=2 \\ a_{n+1}= a_{1} a_{2} ... a_{n} +1 \end{cases}}\).
Myślę, że dowód wykorzystuje rozkład:
\(\displaystyle{ 1= \frac{1}{ a_{1} } + \frac{1}{ a_{2} } +...+ \frac{1}{ a_{n-1} } + \frac{1}{ a_{n}-1 }}\).