Matematyka.pl

W \(\displaystyle{ R^{3}}\) dane są proste \(\displaystyle{ L _{1}: \begin{cases} 3\cdot x+y-z=4 \\ x-3\cdot y+z=0\end{cases}}\) i \(\displaystyle{ L_{2}}\), która przechodzi przez punkty p=(2,1,-3) i q=(1,-1,-8).

Zbadać, czy proste są równoległe. Napisać równanie ogólne płaszczyzny H, która zawiera prostą \(\displaystyle{ L_{1}}\) i punkt p.

Wektor kierunkowy prostej L1 to iloczyn normalnych ją opisujących w równaniu krawędziowym.
\(\displaystyle{ \vec{k _{1} }=\left[ 3,1,-1\right] \times \left[ 1,-3,1\right] =\left[ -2, -4,-10\right]}\)

Wektor kierunkowy prostej L1 to wektor między punktami P i Q
vec{k _{2} }=vec{PQ }=left[ -1,-2,-5
ight]

Wektory są równoległe gdy istnieje taki t spełniające równanie
\(\displaystyle{ \vec{k _{1} }=t \cdot \vec{k _{2}}\)
left[ -2, -4,-10
ight] =tleft[ -1,-2,-5
ight]
\(\displaystyle{ t=2}\)
Te wektory sa równoległe.

Płaszczyznę H zawierającą punkt P wyznaczę z pęku płaszczyzn
\(\displaystyle{ \alpha \left( 3x+y-z-4\right) + \beta \left( x-3y+z\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \alpha \left( 3 \cdot 2+1-(-3)-4\right) + \beta \left( 2-3 \cdot 1+(-3)\right) =0}\)
\(\displaystyle{ 5 \alpha -4 \beta =0}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{4}{5} \beta}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{5} \beta \left( 3x+y-z-4\right) + \beta \left( x-3y+z\right) =0}\)
\(\displaystyle{ 4\left( 3x+y-z-4\right) +5\left( x-3y+z\right) =0}\)
\(\displaystyle{ H: 17x-11y+z-16=0}\)
Oczywiście H można wyznaczać innaczej dochodząc do tego samego równania

Znalazłam błędy w rachunkach, ale rozwiązanie jest w porządku, dziękuję.