Ekstrema funkcji i punkty przegięcia
: 28 cze 2014, o 15:16
Witam,
Najpierw powiem co wiem, a potem zadam pytanie.
Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^4 - 2x^2}\) trzeba znaleźć ekstrema funkcji i punkty przegięcia.
Po przyjrzeniu się funkcji zauważam, że zeruje się ona w punktach:
\(\displaystyle{ x_0 = 0}\)
\(\displaystyle{ x_1 = -\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_2 = \sqrt{2}}\)
Po czym liczę kolejne pochodne funkcji aż dojdę do pochodnych zerowych.
\(\displaystyle{ f'(x) = 4x^3 - 4x}\)
\(\displaystyle{ f''(x) = 12x^2 - 4}\)
\(\displaystyle{ f^{(3)} (x) = 24x}\)
\(\displaystyle{ f^{(4)} (x) = 24}\)
reszta pochodnych to już zera
Liczę przegięcia.
\(\displaystyle{ f'(0) = 0}\) (nie wiemy co to za przegięcie)
\(\displaystyle{ f'(-\sqrt{2} ) = -8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}\) (ponieważ pochodna jest nieparzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 to jest to punkt przegięcia)
\(\displaystyle{ f'(\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}\) (ponieważ pochodna jest nieparzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 to jest to punkt przegięcia)
\(\displaystyle{ f''(0) = -4}\)(ponieważ pochodna jest parzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 oznacza, że nie jest to punkt przegięcia)
I tutaj utknąłem, jestem w stanie na podstawie tego co zrobiłem narysować mniej-więcej jak funkcja \(\displaystyle{ x^4 -2x^2}\) wygląda (ramiona do góry, przecięcia w \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), i odbicie od dołu w punkcie 0), ale za nic nie wiem jakie są dokładne wartości ekstremów tej funkcji.. mógłbym jedynie podać przedziały w których występują.
Proszę o metodę wyliczania ekstremów.
Dziękuję:)
Najpierw powiem co wiem, a potem zadam pytanie.
Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^4 - 2x^2}\) trzeba znaleźć ekstrema funkcji i punkty przegięcia.
Po przyjrzeniu się funkcji zauważam, że zeruje się ona w punktach:
\(\displaystyle{ x_0 = 0}\)
\(\displaystyle{ x_1 = -\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_2 = \sqrt{2}}\)
Po czym liczę kolejne pochodne funkcji aż dojdę do pochodnych zerowych.
\(\displaystyle{ f'(x) = 4x^3 - 4x}\)
\(\displaystyle{ f''(x) = 12x^2 - 4}\)
\(\displaystyle{ f^{(3)} (x) = 24x}\)
\(\displaystyle{ f^{(4)} (x) = 24}\)
reszta pochodnych to już zera
Liczę przegięcia.
\(\displaystyle{ f'(0) = 0}\) (nie wiemy co to za przegięcie)
\(\displaystyle{ f'(-\sqrt{2} ) = -8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}\) (ponieważ pochodna jest nieparzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 to jest to punkt przegięcia)
\(\displaystyle{ f'(\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}\) (ponieważ pochodna jest nieparzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 to jest to punkt przegięcia)
\(\displaystyle{ f''(0) = -4}\)(ponieważ pochodna jest parzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 oznacza, że nie jest to punkt przegięcia)
I tutaj utknąłem, jestem w stanie na podstawie tego co zrobiłem narysować mniej-więcej jak funkcja \(\displaystyle{ x^4 -2x^2}\) wygląda (ramiona do góry, przecięcia w \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), i odbicie od dołu w punkcie 0), ale za nic nie wiem jakie są dokładne wartości ekstremów tej funkcji.. mógłbym jedynie podać przedziały w których występują.
Proszę o metodę wyliczania ekstremów.
Dziękuję:)