Matematyka.pl

Policzyć objętość czworościanu foremnego o boku a którego środek znajduje się w początku układu współrzędnych.

Nie potrafię znaleźć granic całkowania dla współrzędnej z.
Wydaje mi się że :
\(\displaystyle{ - \frac{a}{2} \le x \le \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{\sqrt{3}a}{2} \le \sqrt{3}x+ \frac{\sqrt{3}a}{3}}\) dla x<0
\(\displaystyle{ - \frac{\sqrt{3}a}{2} \le \sqrt{3}x+ \frac{-\sqrt{3}a}{3}}\) dla x >0

Ale jak policzyć z od x i y to nie mam pojęcia.

Brr, jakie niespójne zadanie. PO pierwsze, do policzenia tej objętości nie jest potrzebna całka potrójna, tylko zwykły wzór na objętość ostrosłupa.

Jeżeli juz jednak masz całkować, to stwierdzenie, że jego środek leży w początku ukłądu nic dobrego nie wnosi, bo nie wiesz jak względem osi nachylone są jego ściany.

A jeżeli masz swobodę wyboru położenie, to sugeruje wybrac tak, aby łatwo policzyć współrzędne wierzchołkó, a następnie przekształcić je przekształceniem liniowym na punkty \(\displaystyle{ (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}\).

Zakładałem że jego ściana pokrywa się z osią Oxy. Jak dokonać takiego przekształcenia?

Co znaczy stwierdzenie, że ściana pokrywa się z osią Oxy?? Oxy wygląda mi na pląszczyznę, a nie na oś.
Jeżeli jednak płaszczyzna Oxy pokrywa się jedna ścianą, to środek czworościany nie może leżeć w poczatku układu.

Kierując się Twoim obszarem całkowania wierzchołki czworościanu o srodku w początku układu mogą być takie:
\(\displaystyle{ A=(0,0, \frac{\sqrt{6} }{4} a )}\)
\(\displaystyle{ B=(0, \frac{ \sqrt{3} }{3} a, -\frac{\sqrt{6} }{12} a)}\)
\(\displaystyle{ C=( \frac{1}{2}a , -\frac{ \sqrt{3} }{6} a, -\frac{\sqrt{6} }{12} a)}\)
\(\displaystyle{ D=( -\frac{1}{2}a , -\frac{ \sqrt{3} }{6} a, -\frac{\sqrt{6} }{12} a)}\)


Ps. Zadanie można rozwiązać całkami. Trzeba tylko trochę się naliczyć.
Punkty B,C,D leżą na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi _{ BCD}:z=-\frac{\sqrt{6} }{12} a}\)
Rzut tego trójkąta na XOY jest obszarem całkowania jednak nie jest on normalny, gdyż od góry nakrywają go trzy różne funkcje (a konkretnie to płaszczyzny: \(\displaystyle{ \pi _{ ABC},\pi _{ ABD},\pi _{ ACD)}}\))
Funkcja dolną jest płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi _{ BCD}}\)

Obszar należy podzielić na trzy obszary:
\(\displaystyle{ D _{1} :}\)
\(\displaystyle{ -\frac{ 1}{2} a \le x \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}x \le y\le \sqrt{3}x+ \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{6} }{12} a \le z \le z _{1}}\)
\(\displaystyle{ D _{2} :}\)
\(\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{ 1}{2} a}\)
\(\displaystyle{ -\frac{ \sqrt{3} }{3}x \le y\le - \sqrt{3}x+ \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{6} }{12} a \le z \le z _{2}}\)
\(\displaystyle{ D _{2} :}\)
\(\displaystyle{ \frac{ -a \sqrt{3} }{6} \le y\le 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}y \le x \le - \sqrt{3}y}\)
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{6} }{12} a \le z \le z _{3}}\)
z1,z2,z3 to płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{ ABD},\pi _{ ABC},\pi _{ ACD)}}\)
Pozostaje Ci obliczenie ich równań.