Zbadać zbieżność szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: Calasilyar » 20 maja 2007, o 22:12

Prosiłbym o pomoc w zbadaniu zbieżności dwóch szeregów:
a)
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{n+2}{2n^{3}-1}}\)
b)
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}sin\frac{1}{n}cos\frac{1}{n}}\)

Przykład b) doprowadziłem do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sum\limits^{\infty}_{n=1}sin\frac{2}{n}}\)
ale dalej nie wiem, jak to ruszyć

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: max » 20 maja 2007, o 22:19

a) zbieżny - porównaj poprzez kryterium ilorazowe ze zbieżnym \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\)
b) rozbieżny - kryterium ilorazowe z rozbieżnym \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2}{n}}\)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: Calasilyar » 21 maja 2007, o 16:16

hmm... nie znałem kryterium ilorazowego, ale teraz już znam dzięki

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5404
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: Rogal » 21 maja 2007, o 18:13

Jak na moje krzywe oko, to i z porównawczego pójdzie, przez porównanie do wskazanych przez Maxa szeregów.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: max » 21 maja 2007, o 19:25

Pierwsze przez bezpośrednie porównanie rzeczywiście wyjdzie, ale drugie już niekoniecznie, bowiem \(\displaystyle{ \sin x < x, \ \mbox{dla} \ x > 0}\). Trzeba by wymnożyć szereg harmoniczny przez jakąś stałą \(\displaystyle{ c \in (0, \tfrac{1}{2})}\) i wyjaśnić, że dla dostatecznie dużych n będzie zachodzić
\(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{2}{n}}{2} > \frac{2c}{n}}\),
gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2cx} = \frac{1}{2c} > 1}\)
co w zasadzie niewiele różni się od zastosowania kryterium ilorazowego.

ODPOWIEDZ