Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f\left( x\right) =\left| x\right| \left( x-2\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ Df: x \in R}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \begin{cases} x \left( x-2\right) ^{2} dla x \ge 0 \\ -x \left( x-2\right) ^{2} dla x< 0\end{cases}}\)
Sprawdziłem czy pochodna w punkcie 0 istnieje okazało się że nie wiec,a funkcja jest ciągła...
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \begin{cases} x \left( x-2\right) ^{2} dla x > 0 \\ -x \left( x-2\right) ^{2} dla x< 0\end{cases}}\)
Mam więc rozwiązania:
\(\displaystyle{ f'(x) = 0 x \in \theta}\)
\(\displaystyle{ f'(x) > 0 x \in (0, \frac{2}{3}) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f'(x) < 0 x \in (- \infty ,0)}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{2}{3} )= \frac{20}{9}}\)
\(\displaystyle{ f(0)= 0}\)
\(\displaystyle{ f(2)= 0}\)

Rozbij na dwa przypadki.

\(\displaystyle{ f\left( x\right) =\left| x\right| \left( x-2\right)^{2} =\begin{cases} x\left( x-2\right)^{2} &\text{dla } x \ge 0\\-x\left( x-2\right)^{2}&\text{dla } x<0 \end{cases}}\)
Zbadaj ekstremum dla każdej funkcji odzielnie,
Osobnym problemem będzie sprawdzenie co dzieje się w zerze.

mam zrobione właśnie tak ale w 0 pochodna nie istnieje bo pochodna zbadałem z definicji lewo stroną i prawo stroną i wychodzi dla zera z lewej strony -4 dla prawej 4 ale funkcja jest ciągła i extrema istnieją co wtedy sie robi ??

Skoro w zerze funkcja nie jest różniczkowalna (nie ma tam pochodnej), więc nie może tam występować ekstemum (którego WK jest zerowanie się pochodnej).

dobra wiec badamy x większego od zera i mniejszego co już poprawiłem w pierwszym poście to jest dla mnie jasne, mam problem tylko problem z narysowanie przybliżonego wykresu bo się pogubiłem i w sumie od samego początku mi o to chodziło sorki za źle sformułowane pytanie

Masz tam spory bałagan. Uporządkuj to.
Osobno dla dodatnich, a osobno dla ujemnych argumentów pokaż gdzie jest maksimum, a gdzie minimum, i wskaż WŁAŚCIWE przedziały monitonicznośći.
I tak wygląda pochodna.
\(\displaystyle{ f'\left( x\right)= \begin{cases} 3x^2-8x+4 &\text{dla } x > 0 \\ -3x^2+8x-4 &\text{dla } x< 0\end{cases}}\)

no tak i rozwiązaniem tego układu będzie właśnie to :
\(\displaystyle{ f'(x) > 0 \ \ \Leftrightarrow x \in (0, \frac{2}{3}) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f'(x) < 0 \ \ \Leftrightarrow x \in (- \infty ,0)}\)

Jak mogę określić teraz przedziały monotoniczności ??
Bo mam dwa wykresy te same tylko odbite względem osi ox.

A co w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3},2 \right)}\)?
A kiedy pochodna się zeruje?
Jak pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie. Jak pochodna ujemna, to funkcja maleje. Jak pochodna jest zerem to funkcja osiąga ekstremum.

Chyba nic nie policzyłes dla ujemnych iksów
Dla \(\displaystyle{ x>0}\) masz
\(\displaystyle{ f'(x) > 0 \ \ \Leftrightarrow x \in (0, \frac{2}{3}) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f'(x) < 0 \ \ \Leftrightarrow x \in ( \frac{2}{3},2 )}\)

Jak mogę określić teraz przedziały monotoniczności ??

dla dodatniej pochodnej funkcja rśnie , dla ujemnej maleje.
czyli
\(\displaystyle{ f _{rosnie} &\text{gdy} x \in (0, \frac{2}{3}) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f _{maleje} &\text{gdy} x \in ( \frac{2}{3},2 )}\)

Co z ekstremami?

Przecież policzył, że dla ujemnych iksów pochodna jest ujemna.

Dobra dzięki za pomoc już dalej wiem co robić, tyle tych zadań dziś, że zacząłem się gubić na takich niby prostych zadaniach.