Matematyka.pl

Witam, mam następujący problem:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1+ x^{ \frac{2}{3} } }}\)

Czy ktoś mógłby wstawić mniej więcej jak to powinno wyglądać rozwiązane, bo nie jestem pewien moich wyników( głównie nie wiem jaka jest prawidłowa dziedzina funkcji? , i czy ma jakieś min i max).

Z góry dziękuję za pomoc.

Dziedzina: 1)mianownik różny od zera
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{x^2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^2} \neq -1}\)obustronnie podnoszę do potęgi trzeciej
\(\displaystyle{ x^2=-1}\)
Takie x nie istnieje.
2)Pierwiastek stopnia nieparzystego nie wpływa na dziedzinę.
Ostatecznie \(\displaystyle{ D: x \in \RR}\)
Liczę pochodną
\(\displaystyle{ f ^{'}(x)= \frac{- \frac{1}{3} \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } }{( 1+ \sqrt[3]{x^2}) ^{2} }}\)
Dziedzina pochodnej
\(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{0\right\}}\)
Odejmuję zero bo musi istnieć mianownik w ułamku \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{x} }}\)

Warunek konieczny isnienia ekstremum:
\(\displaystyle{ f ^{'}(x)= 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{- \frac{1}{3} \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } }{( 1+ \sqrt[3]{x^2}) ^{2} }=0}\)
Takie x nie istnieje , brak jest ekstremów.

kerajs pisze:Dziedzina: mianownik różny od zera
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{x^2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x \neq -1}\)

Nie sądzę

kerajs pisze:Dziedzina: mianownik różny od zera
...
\(\displaystyle{ x \neq -1}\)
...
\(\displaystyle{ f '(x)= \frac{- \frac13 \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } }{\left( 1+ \sqrt[3]{x^2}\right) ^{2} }}\)

?
?

To mam dwa pytania, jak dziedzina przed różniczkowaniem? wychodzi inna niż po różniczkowaniu to którą wybrać?:P I warunek konieczny do istnienia ekstremum, jeżeli pomnożyć to obustronnie przez to co jest w mianowniku, to dla x=0 jest to prawdziwe czy nie?

Sorry za zamieszanie.

Dziedzina pochodnej nie musi być równa dziedzinie funkcji. Może być od niej mniejsza.

Nie można sobie sztucznie stwarzać ekstremum przez pomnożenie pochodnej (lub wykonywanie innych działań)
Zauważ że dla ujemnych argumentów funkcja jest rosnąca, a dla dodatnich malejąca. W zerze nie ma ekstremum bo funkcja tam nie jest różniczkowalna. Jest ona ciągła, a w zerze krzywa po lewej i prawej stronie zera schodzi się w kształt ,,zęba'.

Może też być większa

kerajs pisze: 22 cze 2014, o 18:32 Dziedzina pochodnej nie musi być równa dziedzinie funkcji. Może być od niej mniejsza.

Nie można sobie sztucznie stwarzać ekstremum przez pomnożenie pochodnej (lub wykonywanie innych działań)
Zauważ że dla ujemnych argumentów funkcja jest rosnąca, a dla dodatnich malejąca. W zerze nie ma ekstremum bo funkcja tam nie jest różniczkowalna. Jest ona ciągła, a w zerze krzywa po lewej i prawej stronie zera schodzi się w kształt ,,zęba'.

Uważam, że ta funkcja ma ekstremum.

Takie x nie istnieje , brak jest ekstremów.

Brak istnienia pochodnej w jakimś punkcie lub punktach lub niezerowanie się pochodnej nie implikuje braku ekstremów...

Na tym polega zabawa w tym zadaniu, że ekstremum jest tam gdzie nie ma pochodnej...

Funkcja w zerze jest po prostu szpiczasta, więc trudno mówić o stycznej w zerze a więc o pochodnej tym bardziej...

A ciągłość jest zachowana, więc mamy przykład funkcji ciągłej a nieróżniczkowalnej w zerze... z maksimum nawet dość spektakularnym...
(nie tylko lokalnym ale nawet globalnym)...

Sorry, rzadko bywam i przegapiłem ten temat.

W zamierzchłych czasach, gdy nauczyciele przepychali mnie z klasy do klasy, uczono jakoś tak:
Funkcja ma ekstremum w punkcie x=k gdy:
1) WK: Jest w tym punkcie różniczkowalna i jej pochodna się tam zeruje
2) WW: pochodna w tym punkcie zmienia znak.
Niektórzy gogowie rysowali jeszcze różne wykresiki i na nich pokazywali gdzie ekstrema mogą, a gdzie nie mogą wystąpić. Przykładowo, nie mogły wystąpić na ''zębach''.

Teraz, gdy zgniły karzeł imperializmu całkowicie wyparł jedynie słuszną ideologię, nastąpiło wymieszanie pojęć (w tym, i matematycznych), a stąd i powyższe zamieszanie.

Przykładowo, nie mogły wystąpić na ''zębach''.

No i widzisz ci nauczyciele za wiele nie mieli pojęcia co piszą w ich świecie funkcja np:

\(\displaystyle{ y=|x|}\)

nie posiada extremum z założenia bo nie posiada i już...

To tak jak z kulą, która nie musi być kulą, a zbiór gęsty nie musi być gęsty w potocznym rozumieniu...

kerajs pisze: 19 lut 2024, o 11:20 Sorry, rzadko bywam i przegapiłem ten temat.

W zamierzchłych czasach, gdy nauczyciele przepychali mnie z klasy do klasy, uczono jakoś tak:
Funkcja ma ekstremum w punkcie x=k gdy:
1) WK: Jest w tym punkcie różniczkowalna i jej pochodna się tam zeruje
2) WW: pochodna w tym punkcie zmienia znak.

Jeżeli to było rzeczywiście "gdy", a nie "wtedy i tylko wtedy, gdy", to ja nie widzę powodu, by mieć do nauczycieli jakieś pretensje. Uczyli dobrze.

Ekstremum, gdy funkcja nie jest w punkcie różniczkowalna, to inna bajka, inny przypadek. O szpicach w szkole średniej nie uczą.

a4karo pisze: 24 sty 2024, o 21:45 Może też być większa

Nie może.

arek1357 pisze: 25 sty 2024, o 12:08
(...)lub niezerowanie się pochodnej nie implikuje braku ekstremów...

Niezerowanie się istniejącej pochodnej implikuje brak ekstremum.

Wg mnie dana funkcja dla argumentu \(x=0\) osiąga wartość maksymalną (i największą), bo w jego sąsiedztwie przyjmuje wartości mniejsze od \(f(0)=1\) (a w dziedzinie - wartości nie większe od \(1\)).

Pozdrawiam
PS. Archeologia?