Matematyka.pl

stosujac twierdzenie o rozniczkowalnosci/calkowaniu szeregow potegowych oblliczyc sumy podanych szeregow

a)\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(n+1)2 ^{n} }}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n(n+1)}{4 ^{n} }}\)

W przykładzie a) korzystasz z twierdzenia o całkowaniu i przyjmujesz \(\displaystyle{ \ x=\frac{1}{2}}\) . W b) z twierdzenia o różniczkowaniu, a \(\displaystyle{ \ x=\frac{1}{4}}\) .

ok, a mozesz mi wytlumaczyc jeszcze szybko kiedy korzystamy z rozniczkowalnosci a kiedy z calkowania?

Z twierdzenia o różniczkowaniu (nie różniczkowalności) szeregu potęgowego warto skorzystać, gdy w liczniku wyrazów szeregu znajduje się czynnik \(\displaystyle{ (n+1)}\). Z twierdzenia o całkowaniu warto, gdy taki czynnik jest w mianowniku. Wynika to ze stanowiących oba twierdzenia wzorów. Właściwe skorzystanie z nich jest kluczem do policzenia sumy

moglby ktos to jednak rozwiazac, bo jednak cos mi nie wychodzi....

w 1:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^{ \infty } \int_{0}^{x} t^n dt}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{ \infty } t^n dt = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-t} dt}\)

\(\displaystyle{ =- \frac{1}{x} \ln(1-x)}\)
za x podstawiasz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i masz
\(\displaystyle{ =-2\ln \frac{1}{2} =2\ln2}\)

podobnie 2 przykład z tymże tam trzeba różniczkować

mozesz rozpisac rowniez i to drugie?

A dlaczego. Czego nie rozumiesz. Trochę spokojniej przyjrzeć się temu co się dzieje w zapisie Arytmetyka . \(\displaystyle{ n}\) zamieniasz na \(\displaystyle{ x}\)