Matematyka.pl

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Obliczyć \(\displaystyle{ \left( \frac{(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i}{2+2i} \right)^{60}}\)
Zaczęłam od licznika. Moduł licznika wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{8}}\), ale przy dalszym liczeniu wychodzi mi \(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{-\sqrt{2}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin \varphi = \sqrt{2}}\) i nie wiem, jaki to jest kąt. Posiadam rozwiązanie tego zadania, ale nie rozumiem pewnego fragmentu, który załączam w linku - dlaczego podnosimy z0 do kwadratu, po co nam to z1? Nigdy nie widziałam takiej metody.

Chodzi o to, że próbując wyznaczyć argument licznika dostajemy
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{8}},\ \sin\varphi=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{8}}}\)
Niestety dla takich wartości sinusa i cosinusa nie potrafimy wskazać dokładnej wartości argumentu. Potrafimy to zrobić gdy np. \(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin\varphi=\frac12}\) i dla innych bardzo charakterystycznych wartości, ale dla tych z zadania już nie.
Dlatego próbujemy wyznaczyć argument liczby \(\displaystyle{ z_0}\) podniesionej do kwadratu. Jeżeli to nam się uda, to wtedy możemy policzyć potęgę na zasadzie \(\displaystyle{ z_0^{60}=(z_0^2)^{30}}\).
Zauważ, że tak właśnie zrobiono w tym rozwiązaniu z obrazka.

A kąt (dla \(\displaystyle{ z_1}\)) wyznaczono standardowo, bo tu już mamy charakterystyczne wartości sinusa i cosinusa.

PS. Masz błędy w obliczeniach, sinus nie może wyjść większy od jeden.

Proszę mi wybaczyć niemądry błąd z sinusem, teraz widzę, że źle rozpisałam \(\displaystyle{ \sqrt{24}}\)... Muszę przyznać, że nie widziałam nigdy tej metody i pewnie bym sama na to nie wpadła, ale bardzo dziękuję za pomoc, już rozumiem.

Można tutaj puścić w ruch nieco geometrii.

Niech

\(\displaystyle{ v = 1 + \mathrm i \\
w = -1 + \mathrm i}\)

oraz

\(\displaystyle{ \mathrm{O} = 0 + \mathrm i \cdot 0 \\
\mathrm{A} = 1 + \mathrm i = v \\
\mathrm{B} = \left( 1 - \sqrt{3} \right) + \left( 1 + \sqrt{3} \right) \cdot \mathrm i = v + \sqrt{3} \cdot w.}\)

Zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ v \bot w,}\) więc \(\displaystyle{ \mathrm{O} \mathrm{A} \bot \mathrm{A} \mathrm{B},}\) a ponadto \(\displaystyle{ | \mathrm{A} \mathrm{B} | = \sqrt{3} \cdot | \mathrm{O} \mathrm{A} |.}\) To oznacza, że trójkąt \(\displaystyle{ \mathrm{O} \mathrm{A} \mathrm{B}}\) jest trójkątem \(\displaystyle{ 30 - 60 - 90,}\) zatem

\(\displaystyle{ | \sphericalangle \mathrm{A} \mathrm{O} \mathrm{B} | = \frac{\pi}{3}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \arg B = \arg A + | \sphericalangle \mathrm{A} \mathrm{O} \mathrm{B} | = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7 \pi}{12}.}\)

I w istocie

\(\displaystyle{ \cos \frac{7 \pi}{12} = \frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{8}} \\[1ex]
\sin \frac{7 \pi}{12} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{8}}.}\)