Matematyka.pl

Zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{2}^{ \infty } (2- \sqrt[n]{n} )^n}\)
Niestety nie jestem w stanie policzyć nawet granicy ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (2- \sqrt[n]{n} )^n}\)
Ma ktoś jakiś pomysł?

Granicę chyba można policzyć tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (2- \sqrt[n]{n} )^n=\left[ 1^ \infty \right]= \lim_{n \to \infty }e ^{\ln (2- \sqrt[n]{n} )^n}= \lim_{n \to \infty }e ^{n \ln (2- \sqrt[n]{n} )}=\left[ e^{ \infty \cdot 0}\right] = \\ =\lim_{n \to \infty }e ^{ \frac{\ln (2- \sqrt[n]{n} )}{ \frac{1}{n} } }= ^{H}\lim_{n \to \infty }e ^{ \frac{ \frac{1}{2-\sqrt[n]{n}} \cdot \left( \frac{1}{n^2}\ln n - \frac{1}{n^2} \right) }{ \frac{-1}{n ^{2} } } }=\lim_{n \to \infty }e ^{ \frac{1-\ln n }{2- \sqrt[n]{n} } } =e ^{ \frac{1- \infty }{2-1} } =\\=e ^{- \infty }=0}\)
I jeśli się nie pomyliłem to WK zbieżności jest spełniony

Dzięki
Wolframem sprawdziłem i ten szereg jest rozbieżny, ale nadal nie mam pojęcia jak go ruszyć.

Jeśli nie pomyliłem się przy monotoniczności, to można zastosować kryterium kondensacyjne, może coś z tego wyjdzie, ale o tej porze pokonują mnie rachunki (tzn. nie jestem w stanie sprawdzić, czy nie blefuję w szacowaniach).

Podpowiedź:

Oznaczmy

\(\displaystyle{ \alpha_n = \sqrt[n]{n} - 1.}\)

Wtedy szereg ma postać

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \alpha_n \right)^n.}\)

Potrzebujemy więc wiedzieć, jak szybko \(\displaystyle{ \alpha_n}\) zbiega do zera. W tym celu piszemy:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} = e^{\frac{\ln n}{n}} = 1 + \frac{\ln n}{n} + \frac{1}{2!} \cdot \left( \frac{\ln n}{n} \right)^2 + \frac{1}{3!} \cdot \left( \frac{\ln n}{n} \right)^3 + \ldots}\)

czyli

\(\displaystyle{ \alpha_n = \frac{\ln n}{n} + \frac{1}{n} \cdot \beta_n,}\)

gdzie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \beta_n = 0.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \left( 1 - \alpha_n \right)^n \sim e^{-n \alpha _n} = e^{- \ln n - \beta_n} = \frac{1}{n} \cdot e^{- \beta_n} \sim \frac{1}{n},}\)

czyli szereg jest rozbieżny.

Należy to sformalizować.