Matematyka.pl

Witam.
Jako część większego zadania mam do policzenia następującą granicę ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln^2n}{n}}\)
Wiem, że wynosi 0 - ale jak to udowodnić? Zastosowałbym regułę l'Hospitala, ale to jest ciąg.

Z góry dziękuję za wszelkie pomysły.

EDIT:
Czy takie rozwiązanie można uznać za poprawne?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln^2n}{n} = \lim_{n \to \infty } \ln^2 \sqrt[n]{n}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \rightarrow 1}\), a jak wiadomo \(\displaystyle{ 1<e}\), to \(\displaystyle{ \ln \sqrt[n]{n} \rightarrow 0}\). Czyli kwadrat takiego wyrażenia również zmierza do 0.

OK?

EDIT2:
Nie OK, bo \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln^2n}{n} = \lim_{n \to \infty } \ln \sqrt[n]{n} \cdot \ln n}\)

Możesz przerobić ciąg na funkcję, zastosować de l'Hospitala i powołując się na definicję granicy wg Heinego pokazać, że jest to również granica ciągu

Na palcach można to zrobić tak:

Dla dostatecznie duzych \(\displaystyle{ n}\) (dla jakich dokładnie?) zachodzi

\(\displaystyle{ n<e^\sqrt[4]{n}}\)

stąd

\(\displaystyle{ \ln n<\sqrt[4]{n}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \ln^2 n<\sqrt{n}}\)

i dalej wiadomo. Wszystkie nierówności oczywiście dla dostatecznie duzych \(\displaystyle{ n}\).

Z tw. Stolza:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln^2n}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{\ln^2 (n+1)-\ln^2 n}{n+1-n}=\lim_{n \to \infty } \left(\ln (n+1)-\ln n \right) \left( \ln (n+1)+\ln n \right) =\lim_{n\to\infty} \left( \ln (n+1)+\ln n \right) \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) \cdot \frac{n}{n}=...}\)