Pokaż, że szereg jest rozbieżny

[wdsk90]

Niech

\(\displaystyle{ r(n):=(n+1)^{H}+(n-1)^{H}-2n^{H}\ge 0,\quad n\in\mathbb{N},}\)

gdzie

\(\displaystyle{ H>1}\). Pokaż, że szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty r(n)}\)

jest rozbieżny.

[bakala12]

Rozpisz tą sumę i zobacz co się skraca

[ak-47]

Też zawsze byłem fanem sprawdzania - i okazuje się, że jest fajnie. Wysil się

[Dasio11]

Ale tego przecież nie można rozpisać, bo \(\displaystyle{ H}\) nie musi być całkowite. Ja bym skorzystał z twierdzenia, że

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = f''(x)}\)

jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dwukrotnie różniczkowalna. Niestety trzeba wymyślić, jaką funkcję tam podstawić.

[bakala12]

Dasio11, chodziło mi raczej o coś takiego.
Niech \(\displaystyle{ S_{n}}\) będzie ciągiem sum częściowych naszego szeregu. Mamy:
\(\displaystyle{ S_{n}=r\left( 1\right)+r\left( 2\right)+...+r\left( n\right) =2^{H}+0^{H}-2 \cdot 1^{H}+3^{H}+1^{H}-2\cdot 2^{H}+...+\left( n+1\right)^{H}+\left( n-1\right)^{H}-2\cdotn^{H}=\left( n+1\right)^{H}-n^{H}-1^{H}}\)
I teraz można pokazać (na przykład za pomocą pochodnych), że to może być dowolnie duże.

[Dasio11]

A, zjada się. No faktycznie.