Matematyka.pl

Znaleźć pole powierzchni domkniętego obszaru:

\(\displaystyle{ A = { (x,y) \in R^{2} : x^{2} + y \le 1 , x^{2} + y^{2} \le 1 }}\) .

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu.

Pomocny będzie rysunek

Przede wszystkim zauważmy, że interesujący nas obszar można podzielić na dwie części:
- pierwsza leżąca pod osią Ox - będzie to połowa koła o promieniu 1, a zatem ta część będzie miała powierzchnię \(\displaystyle{ P_1=\frac{\pi}{2}}\). Można to liczyć przy pomocy całek, ale to już przesada.
- druga część jest obszarem ograniczonym z góry przez parabolę \(\displaystyle{ y=1-x^2}\) a zatem to pole będzie wynosiło
\(\displaystyle{ P_2=\int\limits_{-1}^1(1-x^2)dx=(x-\frac{x^3}{3}\Big|^1_{-1}=1-\frac13-(-1+\frac13)=2-\frac23=\frac43}\)