Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Znaleźć minimum odległości punktów powierzchni

\(\displaystyle{ S={ (x,y,z) \in R^{3} : x + yz = 2012 }}\)

od początku układu współrzędnych.

Nic fajnego nie przychodzi mi do głowy. Można stwierdzić, że dla kazdego punktu \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) z tego zbioru zachodzi
\(\displaystyle{ x=2012-yz}\), zatem punkty doń należące są postaci \(\displaystyle{ (2012-yz,y,z)}\) dla \(\displaystyle{ y,z \in \RR}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}}\) od początku układu współrzędnych to \(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}+z ^{2} }}\); można podstawić do tego wzoru ogólną postać punktów z "Twojej" \(\displaystyle{ S}\) i wykorzystując monotoniczność \(\displaystyle{ f(t)= \sqrt{t}}\), stwierdzić że minimum jest przyjmowane tam, gdzie minimum wyrażenia spod pierwiastka. A to już po prostu zadanie z rachunku różniczkowego dwóch zmiennych: patrzysz, kiedy gradient się "zeruje" (tj. dla jakich punktów jest on wektorem zerowym), liczysz macierze pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, badasz ich zachowanie w otrzymanych punktach krytycznych, podstawiasz współrzędne tego punktu, gdzie wychodzi minimum i tyle.
PS A, jeszcze pamiętaj, żeby pierwiastek wyciągnąć, bo pytają o najmniejszą wartość tego wyrażenia, a nie jego kwadratu, którego minima znalazłaś.

Bardzo ładnie działają tutaj mnożniki Lagrange'a.
Wsk. prościej liczy sie minimum kwadratu odległości.

Odp: Najmniejsza odległośc \(\displaystyle{ \sqrt{4023}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (1,\sqrt{2011},\sqrt{2011})}\).

A dokładniej to są dwa punkty z o najmniejszej , równej \(\displaystyle{ \sqrt{4023}}\), odległości od początku układu: \(\displaystyle{ P _{1}= (1,\sqrt{2011},\sqrt{2011})}\) i \(\displaystyle{ P _{2}= (1,-\sqrt{2011},-\sqrt{2011})}\)