Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Obliczyć y'(0) oraz y''(0) dla funkcji uwikłanej y=y(x) określonej równaniem

\(\displaystyle{ xe^{y} - y + 1 = 0}\)

Znaleźć równanie prostej stycznej do krzywej określonej powyższym równaniem przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (e^{-2} , 2)}\) .

\(\displaystyle{ xe^{y} - y + 1 = 0}\)
Rózniczkujesz równanie po zmiennej x
\(\displaystyle{ e^{y} +xe^{y}y ^{'} - y ^{'} = 0}\)
\(\displaystyle{ y^{'}= \frac{e^{y}}{1-xe^{y}}}\) dla \(\displaystyle{ 1-xe^{y} \neq 0}\)

Druga pochodną policzę różniczkując równanie \(\displaystyle{ e^{y} +xe^{y}y ^{'} - y ^{'} = 0}\)
co daje
\(\displaystyle{ e^{y}y ^{'} +e^{y}y ^{'} +x\left( e^{y}y ^{'}y ^{'}+e^{y}y ^{''}\right) - y ^{''} = 0}\)
Za \(\displaystyle{ y ^{'}}\) wstaw wyliczoną wcześniej wartośc i z otrzymanego równania oblicz drugą pochodną .

Równanie poszukiwanej stycznej to
\(\displaystyle{ y-2=y ^{'}\left( e^{-2}\right) \cdot \left( x-e^{-2}\right)}\)
(wylicz pochodną w podanym punkcie, wstaw i ewentualnie uprość równanie).

Ps

Obliczyć y'(0) oraz y''(0) dla funkcji uwikłanej y=y(x)

to chyba przepisałaś z innego zadania.