Matematyka.pl

Sprawdzić zwartość przestrzeni \(\displaystyle{ C(I,I)}\) funkcji ciągłych: \(\displaystyle{ I \rightarrow I}\) z metryką supremum, gdzie \(\displaystyle{ I=\left[ 0,1\right]}\)

Nienawidzę i kompletnie nie czuję metryki supremum. Wydaje mi się, że ta przestrzeń jest zwarta, ale nie osiągnąłem żadnego istotnego postępu. Próbowałem coś kombinować z ciągową zwartością i założyć nie wprost, że istnieje ciąg funkcji ciągłych \(\displaystyle{ (f _{n}) _{n}}\) (z \(\displaystyle{ I}\) w \(\displaystyle{ I}\)oczywiście) niemający podciągu zbieżnego w tej metryce i dojść do jakiejś sprzeczności, ale nic z tego.
\(\displaystyle{ [0,1]}\) (z metryką euklidesową) jest zbiorem zwartym, ale nie jestem pewien, czy jakkolwiek to można wykorzystać. Jakimś warunkiem Heinego tu przywalić czy co? Proszę o wskazówki.

Ta przestrzeń nie jest zwarta. Na przykład ciąg

\(\displaystyle{ f_n(x) = x^n}\)

nie ma podciągu zbieżnego.

A to przypadkiem nie jest ograniczone na \(\displaystyle{ [0,1]}\), a zatem z ciągu ograniczonego da się wybrać podciąg zbieżny?

Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych da się wybrać podciąg zbieżny w metryce euklidesowej. Jak chcesz stąd wywnioskować, że z każdego ciągu wspólnie ograniczonych funkcji ciągłych da się wybrać podciąg zbieżny w metryce supremum do funkcji ciągłej?

Dobra, dzięki. Jak w takim razie pokazać, że nie da się z tego wybrać podciągu zbieżnego?

Dla dowolnego podciągu tego ciągu jego granica punktowa nie jest elementem \(\displaystyle{ C[0,1]}\), gdyż jest to
\(\displaystyle{ f(x)= egin{cases} 0& ext{ dla }xin[0,1) \ 1& ext{ dla }x=1 end{cases}}\)

Pewnie da się to jakoś ładniej uargumentować…