dwumian newtona sprawdzenie
: 13 cze 2014, o 09:45
oblicz\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}5^{k-1} {n \choose k}}\)
rozwiązanie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}5^{k-1} {n \choose k}}\)
najpierw chcę obliczyć większą sumę.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}5^{k-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}5^{k}\cdot 5^{-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k}\cdot 5^{-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k} {n \choose k}=}\)
skorzystam ze wzoru
\(\displaystyle{ (a+b)^2= \sum_{n=0}^{k} {n \choose k} a^{n-k}b^k}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k} {n \choose k}= \frac{1}{5}(1+5)^n= \frac{1}{5} 6^n}\)
suma jest zawyżona o dwa składniki pierwszy \(\displaystyle{ k=0}\) i ostani \(\displaystyle{ n=k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{0}5^{0-1} {0 \choose 0}= \frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{n}5^{n-1} {0 \choose 0}= \frac{1}{5} 5^n}\)
ostateczny wynik \(\displaystyle{ 6^n-\frac{1}{5} 5^n- \frac{1}{5}}\)
rozwiązanie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}5^{k-1} {n \choose k}}\)
najpierw chcę obliczyć większą sumę.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}5^{k-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}5^{k}\cdot 5^{-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k}\cdot 5^{-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k} {n \choose k}=}\)
skorzystam ze wzoru
\(\displaystyle{ (a+b)^2= \sum_{n=0}^{k} {n \choose k} a^{n-k}b^k}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k} {n \choose k}= \frac{1}{5}(1+5)^n= \frac{1}{5} 6^n}\)
suma jest zawyżona o dwa składniki pierwszy \(\displaystyle{ k=0}\) i ostani \(\displaystyle{ n=k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{0}5^{0-1} {0 \choose 0}= \frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{n}5^{n-1} {0 \choose 0}= \frac{1}{5} 5^n}\)
ostateczny wynik \(\displaystyle{ 6^n-\frac{1}{5} 5^n- \frac{1}{5}}\)