Matematyka.pl

Proszę pomóżcie!

1. W trójkącie ABC mamy dane |BC|=a, |AC|=b. Wyznacz długość boku AB
wiedząc, że środkowe poprowadzone do boków BC i AC są do siebie prostopadłe.

2. W równoramiennym trójkącie prostokątnym środkowe poprowadzone do
przyprostokątnych mają długość k. Oblicz długość boków tego trójkąta.

2. Ma to być dokładny wynik czy w postaci algebraicznej?

AD 2.
Zauważ, że srodkowa, jedna przyprostokątna i połowa drugiej przyprostokątnej tworzą trójkąt prostokątny.

Mamy zatem równanie z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ k^2=a^2+\frac{1}{4}a^2}\)

\(\displaystyle{ a=\sqrt{\frac{4}{5}k^2}=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{5}k}\)

1) Trzeba trójkąt rzeczony narysować, zaznaczyć te środkowe (oznaczmy je jako s1 i s2), a następnie zauważyć, że dzielą się one w stosunku 1:3 i z każdym bokiem zapisać układ równań wraz z tymi środkowymi, korzystając z tw. Pitagorasa. Następnie wyznaczyć je (środkowe) w zależności od a i b i mając je już w tej postaci, podstawić do tw. Pitagorasa tym razem z szukanym bokiem i to raczej tyle. Jak będą problemy, to pisz, a wtedy to ja zrobię to, o czym na razie tylko piszę .

Ad 1.
Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie a ich punkt wspólny dzieli je w ten sposób że |SE|=1/3*|CE|.
Ponieważ trójkąt ASB jest prostokątny a punkt E jest środkiem AB mamy |AE|=|EB|=|ES| =c/2
Zatem |CE|=3*|ES|=3/2*c.
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów ACE i ACB ,
|CE|^2=|AC|^2+|AE|^2-2*|AC|*|AE|*cosA
|CB|^2=|AC|^2+|AB|^2-2*|AC|*|AB|*cosA

(3/2*C)^2= b^2+(c/2)^2 - 2*b*c/2*cosA
a^2=b^2+c^2 -2*b*c*cosA

Pierwsze z tych równań mnożymy przez 2 - odejmujemy stronami i wyliczamy "c".

Ad 2.
|AF|= k , |AC|=a ,|CF|=a/2, |AB|=sqrt(2)*a

Trójkąt ACF jest prostkątny stosujemy do niego twierdzenie Pitagorasa.