Wyznaczanie jądra, bazy oraz przeciwobrazu
: 7 cze 2014, o 14:29
Niech \(\displaystyle{ W}\) oznacza przestrzeń trójwymiarową \(\displaystyle{ R\left\{ 1,\cos x,\sin x\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ L: W \rightarrow → W}\) przekształcenie liniowe zadane wzorem:
\(\displaystyle{ L\left( a+b\cos x + c\sin x\right) =3a+2b-2c+\left( -a+c\right) \cos x + \left (2a+2b-c\right) \sin x}\).
a)Znajdź bazy \(\displaystyle{ kerL, ImL}\)
b)\(\displaystyle{ L^{-1} \left( 1+\cos x+2\sin x\right) =?}\)
Niestety algebra liniowa nie jest moja mocna strona, wiec prosze o wszelkie wskazówki (im bardziej szczegółowe, tym lepiej), z góry dziękuję i pozdrawiam.
-- 7 cze 2014, o 16:51 --
Dowiedziałem się, aby obliczyć jądro, trzeba utworzyć z przekształcenia liniowego macierz:
\(\displaystyle{ A\left( L\right) = \left[
\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -2\\
-1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & -1 \\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1\\
-1 & 0 & 1\\
0 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1\\
-1 & 0 & 1\\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 2 & 1\\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & \frac{1}{2} \\
\end{array}
\right]}\)
W tym miejscu z tego co wiem za parametr mogę podstawić coś niezerowego. No i chciałbym wiedzieć dlaczego niezerowego, i dlaczego te współczynniki z macierzy mam przyrównać do zera. Kontynuując:
\(\displaystyle{ x_{3}=2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}-2=0}\)
\(\displaystyle{ x_{2}-\frac{1}{2} \cdot 2=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=2}\)
wiec wynikeim jest wektor
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c}
2 \\
-1\\
2\\
\end{array}
\right]}\)
Wiec jądro ma postać taką ?
\(\displaystyle{ kerL=R\left\{ 2-\cos x+2\sin x\right\}}\)
Ktoś mi pomoże z resztą ?
\(\displaystyle{ L\left( a+b\cos x + c\sin x\right) =3a+2b-2c+\left( -a+c\right) \cos x + \left (2a+2b-c\right) \sin x}\).
a)Znajdź bazy \(\displaystyle{ kerL, ImL}\)
b)\(\displaystyle{ L^{-1} \left( 1+\cos x+2\sin x\right) =?}\)
Niestety algebra liniowa nie jest moja mocna strona, wiec prosze o wszelkie wskazówki (im bardziej szczegółowe, tym lepiej), z góry dziękuję i pozdrawiam.
-- 7 cze 2014, o 16:51 --
Dowiedziałem się, aby obliczyć jądro, trzeba utworzyć z przekształcenia liniowego macierz:
\(\displaystyle{ A\left( L\right) = \left[
\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -2\\
-1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & -1 \\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1\\
-1 & 0 & 1\\
0 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1\\
-1 & 0 & 1\\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 2 & 1\\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & \frac{1}{2} \\
\end{array}
\right]}\)
W tym miejscu z tego co wiem za parametr mogę podstawić coś niezerowego. No i chciałbym wiedzieć dlaczego niezerowego, i dlaczego te współczynniki z macierzy mam przyrównać do zera. Kontynuując:
\(\displaystyle{ x_{3}=2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}-2=0}\)
\(\displaystyle{ x_{2}-\frac{1}{2} \cdot 2=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=2}\)
wiec wynikeim jest wektor
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c}
2 \\
-1\\
2\\
\end{array}
\right]}\)
Wiec jądro ma postać taką ?
\(\displaystyle{ kerL=R\left\{ 2-\cos x+2\sin x\right\}}\)
Ktoś mi pomoże z resztą ?