Własność granicy

[KrolikDawid]

Witam.
W treści dowodu Tw. Banacha o punkcie stałym(zasady odwzorowań zwężających) mam następującą linijkę, w której korzystam z pewnej własności:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}Tx_n= T(\lim_{n\to \infty}x_n)=Tx}\)
gdzie T jest przekształceniem jednostajnie ciągłym, a \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) ciągiem Cauchy'ego takim, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}x_n= x, x\in \textrm{M}}\), gdzie M przestrzeń metryczna zupełna.
Chciałbym się powołać w pracy na tę własność (jak się nazywa ta własność?) ale nie mogę znaleźć odpowiadającego sformułowania jej. Mam pewne domysły ale poszukuję sprawdzonego i rzetelnego sformułowania tej własności najlepiej z dowodem. Może to być również namiar na książkę, skrypt, jakiś skan czy cokolwiek co mi pomoże z odnalezieniem sformułowania te własności.

[a4karo]

To jest po prostu ciągłąośc \(\displaystyle{ T}\).

[KrolikDawid]

Domyślam się tego, ale potrzebuję dokładnego sformułowania typu:
Jeśli T jest ciągłe to ...
Najlepiej książkę, w której znajdę taką własność opisaną.

[ak-47]

Ja miałem to zdefiniowane na wykładzie z AF w ten sposób:

DEFINICJA. Niech \(\displaystyle{ (X,||\cdot||_X)}\) i \(\displaystyle{ (Y,||\cdot||_Y)}\) będą przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy \(\displaystyle{ T:X\to Y}\) nazywamy ciągłym w punkcie \(\displaystyle{ x\in X}\), gdy dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) zachodzi implikacja:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ||x_n - x||_X = 0\quad \Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty} ||T(x_n) - T(x)||_Y = 0.}\)

Operator liniowy \(\displaystyle{ T}\) nazywamy ciągłym, gdy jest ciągły w każdym punkcie \(\displaystyle{ x\in X}\).

Z tej definicji wynika, że budujemy pojęcie granicy w przestrzeni unormowanej na pojęciu zwykłej granicy ciągu liczbowego. Jeżeli zatem zachodzi takowa definicyjna implikacja, to jesteśmy uprawnieni pisać, że

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} T(x_n)=T(x)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\),

o ile zachodzi

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_n=x}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).

Skrótowo

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} T(x_n)=T(\lim_{n\to\infty} x_n)=T(x)}\)

[KrolikDawid]

No dobrze. A mógłby ktoś podeprzeć jeszcze jakąś książką to co kolega wyżej podał?