Matematyka.pl

Niech szybkość przyrostu liczby ludności będzie proporcjonalna do wielkości populacji. Wyznacz zależność między liczbą ludności
a czasem\(\displaystyle{ t}\), jeśli wiadomo, że w chwili \(\displaystyle{ t=0}\) wynosiła ona \(\displaystyle{ N_0}\), natomiast po roku zwiększyła się o \(\displaystyle{ r \%}\). Uwzględniając powyższe założenia,
oblicz liczbę mieszkańców Polski dnia 1 stycznia 2030 roku, jeśli wiadomo, że 1 stycznia 2010 roku wynosiła ona 38.5 mln, a roczny
przyrost w roku 2009 wynosił 6 promili. Oblicz przypuszczalną liczbę mieszkańców Warszawy dnia 1 stycznia 2030 roku, jeśli wiadomo,
że 1 stycznia roku wynosiła ona 1.7 mln, a roczny przyrost w roku 2009 wynosił 4 promile.

Tutaj trzeba chyba skorzystać z modelu Malthusa, ale nie wiem jak się za to zabrać

\(\displaystyle{ N(t)}\) -wielkość populacji w czasie \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ N(0)=N_0}\)
Z treści zadania:
\(\displaystyle{ \dot N = p N}\)

Łatwo rozwiązujemy równanie: (\(\displaystyle{ N \neq 0}\)):

\(\displaystyle{ N(t)=N_0 e^{pt}}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ t}\) oznacza lata.

Wtedy:

\(\displaystyle{ N(1) = (1+ \frac{r}{100})N_0}\)

\(\displaystyle{ N_0 e^p = (1+ \frac{r}{100})N_0}\)

\(\displaystyle{ p = \ln (1+ \frac{r}{100})}\)

\(\displaystyle{ N(t)=N_0 (1+ \frac{r}{100})^t}\)

Dalej już chyba bardzo łatwo.