Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
: 18 maja 2007, o 01:07
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\), określona na przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\), posiada skończoną pochodną \(\displaystyle{ f'(x_{0})}\) oraz posiada w \(\displaystyle{ x_{0}}\) ekstremum lokalne, to
\(\displaystyle{ f'(x_{0})=0.}\)
Dowód: Niech np. w \(\displaystyle{ x_{0}}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) posiada maksimum lokalne. Ponieważ istnieje skończona pochodna \(\displaystyle{ f'(x_{0})=0}\), więc\(\displaystyle{ f'(x_{0})=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.}\)
Dla dostatecznie małych \(\displaystyle{ h>0}\) mamy\(\displaystyle{ \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\leqslant 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ f'_{p}(x_{0})=f'(x_{0})\leqslant 0.}\)
Dla dostatecznie bliskich zera \(\displaystyle{ h}\)