Matematyka.pl

Jak obliczyć następującą sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}}\). Pomyślałem, że można to obliczyć jak dla szeregu funkcyjnego \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n+1)}}\), gdzie \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{3}}\). Pomyślałem też, że można zacząć od tego żeby wrzucić do licznika \(\displaystyle{ x^{2n+1}}\) na siłę i różniczkować, ale nie przyniosło to pożądanych efektów. Mógłby ktoś zweryfikować czy pomysł nietrafny czy tylko błąd w obliczeniach?
Dzięki.

Może rozbij to na różnicę dwóch sum.

jak to zrobić?

W pierwszej w ułamku w liczniku piszesz \(\displaystyle{ 1}\) a w mianowniku wszędzie zastępujesz \(\displaystyle{ n}\) wyrażeniem \(\displaystyle{ 2n}\).
W drugiej w ułamku też w liczniku piszesz \(\displaystyle{ 1}\) a w mianowniku wszędzie zastępujesz \(\displaystyle{ n}\) wyrażeniem \(\displaystyle{ 2n+1}\).
Od pierwszej odejmujesz drugą. (Zakresy sumowania pozostają bez zmian).