Matematyka.pl

Oblicz iloczyn nieskończony. Nie mam pojęcia jak to obliczyć.
\(\displaystyle{ \prod_{n=3}^{ \infty } (1- \frac{2}{n(n-1)} )}\)

Sprowadź do wspólnego mianownika i poskracaj co się da.

Czyli, jeżeli można to doprowadzić do postaci.
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n-2)}{n(n-1)}}\)
Jeżeli to rozpiszę od n=3 do n, poskraca mi się praktycznie wszystko i zostanie.
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}* \frac{n+1}{n}}\)
Następnie przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n}}\) zbiega do 1, to iloczyn będzie równy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)?

Wynik ok, ale jak to skracasz?

Jeżeli to rozpiszemy to mamy.
\(\displaystyle{ \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 3} \cdot \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 4} \cdot ... \cdot \frac{n \cdot (n-3)}{(n-1) \cdot (n-2)} \cdot \frac{(n+1) \cdot (n-2)}{n \cdot (n-1)}}\)
I teraz lewa strona licznika z lewa stroną mianownika kolejnego współczynnika i prawa mianownika z prawą licznika kolejnego.
I zostaje \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{n+1}{n-1}}\)
Tylko, jak się ma sprawa z nieskończonością?

jest ok, wypisujesz do \(\displaystyle{ n}\) i przechodzisz do granicy.

Ok, wielkie dzięki