Matematyka.pl

Udowodnić, że dla wszystkich \(\displaystyle{ r > -1}\) zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{r}{1+r} < \ln(1+r) < r}\)

Ale to nieprawda. Weźmy \(\displaystyle{ r=0}\)
\(\displaystyle{ \ln(1+r) < r \\ \ln(1) < 0 \\ 0<0}\)

Hmm rzeczywiście... Możliwe, że źle przepisałam. A jak to rozwiązać dla \(\displaystyle{ r > -1}\) i \(\displaystyle{ r \neq 0}\)? Albo jednoznacznie, gdy nierówności są słabe?

prawa nierówność: rozważ funkcję \(\displaystyle{ f(x)=r-\ln(1+r)}\) jej pochodna jest równa \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{1+r}}\), co jest równe 0 dla \(\displaystyle{ r=0}\). pochodna zmienia znak z "-" na "+", więc jest to minimum. nietrudno zauważyć, że jest to minimum globalne. wniosek wyciągnij sama
lewa nierówność: rozważ funkcję \(\displaystyle{ \ln(1+r)-\frac{r}{1+r}=\ln(1+r)+\frac{1}{1+r}-1}\). tu pochodna jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{1+r}-\frac{1}{(1+r)^2}=\frac{1}{1+r}(1-\frac{1}{1+r})}\) przeprowadź analizę jak wyżej

Wiemy, że dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy

\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}<e<\left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\)

Logarytmując otrzymujemy:

\(\displaystyle{ n \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right)<\ln e (=1) < (n+1) \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right)}\)

Dalej przekształcając:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}}\)

Wstaw \(\displaystyle{ r= \frac{1}{n}}\) i masz swoje nierówności.

Dzięki klaustrofob.
Swoją drogą rozwiązanie walianta wydaje się być łatwiejsze(o ile zna się pierwszą zależność) jednak nie jestem pewna czy tutaj nie jest pokazane tylko dla \(\displaystyle{ r= \frac{1}{n}, n \in \NN}\)?

trochę dla bezpieczeństwa napisałem, że dla naturalnych, ale te nierówności \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}<e<\left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\) zachodzą dla \(\displaystyle{ n in left[ 1, infty )}\) rzeczywistych.

W takim razie wtedy też udowadniamy to tylko dla \(\displaystyle{ r \in (0,1]}\)...