Granica funkcji dwóch zmiennych
: 28 maja 2014, o 00:32
Witam,
do policzenia jest granica jak następuje:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2 + y^2) \sin \frac{1}{xy}}\)
Pierwsze co zastanawia, sinus w nieskończoności - na pewno nie istnieje. Ale z drugiej strony, sinus jest ograniczony.
A pierwszy czynnik ewidentnie dąży do 0.
Ponoć, jeśli \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest ograniczona, a
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y) = 0}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) \cdot g(x,y) = 0}\).
Przejście na współrzędne biegunowe też daje podobny efekt - granica \(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} r^2 \sin \frac{1}{r^2 \sin\alpha \cos\alpha}}\).
Wychodziłoby z tego, że szukaną granicą jest 0, ale Wolphram zwraca jednak brak granicy.
Nie kojarzę żadnego przypadku, w którym byłbym mądrzejszy od narzędzi takich jak Mathematica albo Wolfram Alpha - w związku z tym pytanie brzmi: gdzie jest błąd w moim rozumowaniu? Może nie mogę użyć tego twierdzenia albo źle je interpretuję?
do policzenia jest granica jak następuje:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2 + y^2) \sin \frac{1}{xy}}\)
Pierwsze co zastanawia, sinus w nieskończoności - na pewno nie istnieje. Ale z drugiej strony, sinus jest ograniczony.
A pierwszy czynnik ewidentnie dąży do 0.
Ponoć, jeśli \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest ograniczona, a
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y) = 0}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) \cdot g(x,y) = 0}\).
Przejście na współrzędne biegunowe też daje podobny efekt - granica \(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} r^2 \sin \frac{1}{r^2 \sin\alpha \cos\alpha}}\).
Wychodziłoby z tego, że szukaną granicą jest 0, ale Wolphram zwraca jednak brak granicy.
Nie kojarzę żadnego przypadku, w którym byłbym mądrzejszy od narzędzi takich jak Mathematica albo Wolfram Alpha - w związku z tym pytanie brzmi: gdzie jest błąd w moim rozumowaniu? Może nie mogę użyć tego twierdzenia albo źle je interpretuję?