Matematyka.pl

hey mam do rozwiazania zadanie z ciagow a nie wiem nawet jak sie do niego zabrac...;/ moglby mi ktos pomoc??

zad1.
W trójkąt o boku długości a wpisano koło, w które wpisana trójkąt rownoboczny,a a tem trojkąt znowu koło itd. Oblicz sumę pól wpisanych kół.

wskazówka:
\(\displaystyle{ R=\frac{2}{3}h\\
h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)

Potrzebna proporcja między promieniem opisanego i wpisanego koła na trójkącie równobocznym.

Wysokość w trójkącie równobocznym, to \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)

Promień koła opisanego to \(\displaystyle{ R=\frac{2h}{3}}\)

Promień koła wpisanego to \(\displaystyle{ r=\frac{h}{3}}\)

Stąd - ponieważ między każdymi dwoma kółkami jest trójkąt równoboczny, kolejne kółka mają 2krotnie mniejszy promień.

Pole pierwszego kółka to \(\displaystyle{ \pi r^2}\)
Pole drugiego kółka to \(\displaystyle{ \pi \frac{r^2}{4}}\)
... każde kolejne kółko jest 4krotnie mniejsze.
Ogólnie
\(\displaystyle{ \pi r^2\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{4^i}=\pi r^2\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\pi r^2\frac{4}{3}}\)

I podstawiając w/w wzór na r:
\(\displaystyle{ \pi(\frac{a\sqrt{3}}{6})^2\frac{4}{3}=\frac{\pi a^2}{9}}\)

ale chyba promień koła wpisanego w trojkąt to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{3}h}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{3} * \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{a^2 \pi}{12}}\)
bok następnego trójkata to będzie\(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt{3}}{12}[/tex
[tex]P=\frac{a^2 \pi}{48}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2 \pi}{12} + \frac{a^2 \pi}{48} +.....}\)
\(\displaystyle{ a_1=\frac{a^2 \pi}{12}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{1}{4}}\)
i teraz obliczasz z sumy \(\displaystyle{ S=a_1 * \frac{1-q^2}{1-q}}\)