Matematyka.pl

... podstawy maja 6 cm i 15 cm naromiast przekatna zawiera sie w dwusiecznej kata ostrego trapezu. oblicz pole i obwod..

moim zdaniem musisz poukladac rownania napewno twierdzenie cosinusow a do tego dolozysz z 2 pitagorasy i bedziesz mial uklad rownan ktory trzeba rozwiazac ale to taki sposob na pale moze ktos zna inny jak to sie mowi "piekniejszy" ?? ;D

nie pamietam tw. cosinusów, więc inaczej...
niech h - wysokość
a- ramię
x-połowa różnicy między podstawami

\(\displaystyle{ x=\frac{15-6}{2}=\frac{9}{2}}\)
jeśli narysujemy sobie wysokość to otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne, jeden o kacie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) (i przyprostokatnych h, 15-x), drugi o kacie ostrym \(\displaystyle{ 2\alpha}\) (i przyprostokątnych x i h). zatem
\(\displaystyle{ tg = \frac{h}{15-x} \iff h=\frac{21}{2}tg \\
tg 2\alpha = \frac{h}{x} \iff h = \frac{9}{2}tg 2\alpha}\)
czyli
\(\displaystyle{ 21tg\alpha=9tg 2\alpha\\
21tg\alpha = 9\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}\\
21-21tg^2\alpha=18tg\alpha\\
tg^2\alpha = \frac{1}{7}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \alpha}\) jest katem ostrym:
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{\sqrt{7}}{7}\\
h= \frac{21}{2}tg =\frac{3\sqrt{7}}{2}\\
a=\sqrt{x^2+h^2}=6\\
P=\frac{15+6}{2}\cdot h =\frac{63\sqrt{7}}{4}\\
O=15+6+2a=33}\)