Matematyka.pl

Zbadaj, czy ciąg jest zbieżny jednostajnie, czy tylko punktowo.
Przykład:
\(\displaystyle{ f_{n}x=\arctg \frac{2nx}{x^2+n^2} \qquad X = \left< 1; 10 \right>}\)

Zadanie rozpisałem następująco: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \arctg \frac{2nx}{x^2+n^2} =0}\) (zbieżność punktowa do \(\displaystyle{ f(x)=x}\))

\(\displaystyle{ \sup \left| \arctg \frac{2nx}{x^2+n^2} \right| = \max \left| \arctg \frac{2nx}{x^2+n^2} \right|}\)

badam pochodną \(\displaystyle{ \left( \arctg \frac{2nx}{x^2+n^2} \right) '= \frac{2n^3-2nx^2}{x^4+6x^2n^2+n^4}}\)
Przyrównuję licznik do zera i otrzymuję ekstrema w pktach \(\displaystyle{ x=n}\) oraz \(\displaystyle{ x=-n}\)

\(\displaystyle{ f_{n}(n)= \frac{\pi}{4}}\)(dla \(\displaystyle{ -n}\) tak samo)

natomiast na końcach przedziału \(\displaystyle{ f(1) \to 0}\) i \(\displaystyle{ f(10) \to 0}\).
Co znaczyłoby, że funkcja nie jest jednostajnie zbieżna, jednak w podręczniku figuruje inna odpowiedź. Mógłby ktoś pomóc? Może błąd przy liczeniu pochodnej... Niestety nie jestem w stanie go znaleźć. A może moje rozumowanie jest złe. Z góry dzięki.

Dla \(\displaystyle{ n>10}\) oba ekstrema \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ -n}\) nie należą do przedziału \(\displaystyle{ [1, 10],}\) zatem nie mogą wpływać na

\(\displaystyle{ \sup_{x \in [1, 10]} \left| f_n(x) - f(x) \right|.}\)

Aby pokazać, że zbieżność jest jednostajna, można zauważyć, że dla \(\displaystyle{ n>10}\) funkcja \(\displaystyle{ y_n(x) = \frac{2nx}{n^2+x^2}}\) jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ [1, 10]}\) a funkcja \(\displaystyle{ \arctg y}\) jest rosnąca na \(\displaystyle{ \RR,}\) zatem dla każdego \(\displaystyle{ x \in [1, 10]}\) mamy

\(\displaystyle{ 0 \le \arctg y_n(x) \le \arctg y_n(10),}\)

tj.

\(\displaystyle{ 0 \le \arctg \frac{2nx}{n^2+x^2} \le \arctg \frac{2 \cdot n \cdot 10}{n^2 + 10^2}.}\)