Matematyka.pl

Witam.

Piszę na forum po raz pierwszy, bo nie mogę za nic zrozumieć sytuacji, kiedy relacja jest jednocześnie przeciwzwrotna i antysymetryczna. Wszystko pozostałe jest dla mnie jasne i proste, na tym przypadku utknąłem. Do konkretów:

(napiszę nie formalnie, tylko tak jak ja to zrozumiałem, może ktoś zauważy jakiś błąd)

Relacja jest przeciwzwrotna, jeżeli dla żadnego \(\displaystyle{ x}\) do relacji nie należy para \(\displaystyle{ (x,x)}\)

Relacja jest przeciwsymetryczna, jeśli nie ma ani jednego przypadku, że jeśli \(\displaystyle{ (x,y)}\) należy do relacji, to \(\displaystyle{ (y,x)}\) też należy

Relacja jest antysymetryczna, jeśli \(\displaystyle{ (x,y) \in r \wedge (y,x) \in r \rightarrow x = y}\) , tzn. jeśli \(\displaystyle{ (x,y)}\) należą do relacji oraz \(\displaystyle{ (y,x)}\) należą do relacji, to tylko i wyłącznie w sytuacji kiedy \(\displaystyle{ x = y}\)

Rozumiem to tak, ża relacja nie może być jednocześnie przeciwzwrotna i antysymetryczna... Bo jeśli jest przeciwzwrotna, czyli nie ma żadnego przypadku \(\displaystyle{ (x,x)}\), to jak może spełniać warunek antysymetryczności, \(\displaystyle{ x=y}\) ?

I może na kilku przykładach:
1) mamy zbiór \(\displaystyle{ X=\{0,1,2\}}\) i taką relację: \(\displaystyle{ r=\{ (0,1), (1,2), (2,0) \}}\)
Ktoś napisał, że jest ona antysymetryczna. Jeśli to prawda, to dlaczego po prostu nie przeciwsymetryczna ?

2)Podać przykład relacji przeciwzwrotnej i antysymetrycznej
- nie mam pojęcia, może ktoś zna jakiś mocno pokazowy przykład?

3)\(\displaystyle{ x r y \Leftrightarrow \left| x \right| < \left| y \right|}\)
W odpowiedzi jest : przeciwzrotna (ok), przechodnia (ok) i antysymetryczna - nie rozumiem dlaczego, ja tu nie widzę żadnego przypadku symetryczności

Będę bardzo wdzięczny za wytłumaczenie gdzie jest błąd w moim rozumowaniu, z góry dziękuję !

ZaisteAmbaras pisze:Rozumiem to tak, ża relacja nie może być jednocześnie przeciwzwrotna i antysymetryczna... Bo jeśli jest przeciwzwrotna, czyli nie ma żadnego przypadku \(\displaystyle{ (x,x)}\), to jak może spełniać warunek antysymetryczności, \(\displaystyle{ x=y}\) ?

Źle rozumiesz warunek antysymetrii. Warunek antysymetrii to de facto warunek przeciwsymetrii ograniczony do par, w których następnik jest różny od poprzednika - czyli symetria w relacji antysymetrycznej może (ale nie musi!) występować tylko w przypadku par \(\displaystyle{ (x,x)}\).

Każda relacja przeciwsymetryczna jest antysymetryczna.

ZaisteAmbaras pisze:1) mamy zbiór \(\displaystyle{ X=\{0,1,2\}}\) i taką relację: \(\displaystyle{ r=\{ (0,1), (1,2), (2,0) \}}\)
Ktoś napisał, że jest ona antysymetryczna. Jeśli to prawda, to dlaczego po prostu nie przeciwsymetryczna ?

Może nie znał definicji przeciwsymetrii? Ta relacja jest przeciwsymetryczna, więc tym bardziej antysymetryczna. Obie odpowiedzi są poprawne.

ZaisteAmbaras pisze:2)Podać przykład relacji przeciwzwrotnej i antysymetrycznej
- nie mam pojęcia, może ktoś zna jakiś mocno pokazowy przykład?

Dowolna relacja przeciwsymetryczna jest dobrym przykładem.

ZaisteAmbaras pisze:3)\(\displaystyle{ x r y \Leftrightarrow \left| x \right| < \left| y \right|}\)
W odpowiedzi jest : przeciwzrotna (ok), przechodnia (ok) i antysymetryczna - nie rozumiem dlaczego, ja tu nie widzę żadnego przypadku symetryczności

I znów - ta relacja jest przeciwsymetryczna, więc tym bardziej antysymetryczna.

JK

I wszystko jasne !

Bardzo dziękuję za odpowiedź!